Das Physikalische Praktikum

18 E Fehlerrechnung und Auswertungen im Praktikum
E.6 Gewichteter Mittelwert
Bei Vorliegen mehrerer unabhängiger Ergebnisse ist es üblich, den gewichteten Mittelwert anzugeben:
¯x =
∑ i
∑ i
xi
σ 2
i
1
σ 2
i
mit Fehler: σ = 1
∑ i
1
σ 2
i
. (E.8)
Bei stark unterschiedlich genauen Werten greift man besser auf folgende Berechnung des Fehlers
zurück:
σ = ∑ (xi− ¯x) 2
σ 2
i
(n − 1) ∑ 1
σ 2
, (E.9)
i
oder nimmt das Maximum des mit den beiden obigen Formeln berechneten Fehlers.
E.7 Lineare Regression
Hat man die Messwerte yi(xi) vorliegen und vermutet einen linearen Zusammenhang y = m·x+b,
so kann man dies einfach mit der linearen Regression testen. Die Steigung ergibt sich zu:
m = n ∑ xiyi − ∑ xi ∑ yi
n ∑ x2 (E.10)
2
i −(∑ xi)
und der Achsenabschnitt ist
b = ∑ x2i ∑ yi − ∑ xi ∑ xiyi
n ∑ x2 (E.11)
2
i −(∑ xi)
Die jeweiligen Fehler berechnen sich zu:
σ 2 m =
n ∑(yi − b − mxi) 2
(n − 2) n ∑ x2 i −(∑ xi)
2
(E.12)
σ 2 b = ∑ x2i · ∑(yi − b − mxi) 2
(n − 2) n ∑ x2 i −(∑ xi)
2
(E.13)
und der Korrelationskoeffizient berechnet sich folgendermaßen:
r =
n ∑ xiyi − ∑ xi ∑ yi
n ∑ x2 i −(∑ xi) 2
· n ∑ y2 2
i −(∑ yi)
(E.14)