Riemannsche Geometrie FS 07 - Lehrstuhl für Mathematik III

1.3. DIE KOVARIANTE ABLEITUNG 11
1.3 Die kovariante Ableitung
In diesem Abschnitt lernen wir ein Vektorfeld X längs eines anderen Vektorfeldes Y
abzuleiten. Eine solche sogenannte kovariante Ableitung soll aber so definiert werden,
dass ihre Berechnung nicht von der Wahl des Koordinatensystem abhängt. Im euklidischen
Raum R n haben wir ein globales Koordinatensystem, so dass wir die kovariante
Ableitung ∇Y X eines Vektorfeldes X = a i ∂i einfach durch
∇Y X = (∇Y a i )∂i = 〈da i , Y 〉∂i
definieren können. Insbesondere verschwinden also die kovarianten Ableitungen von
allen konstanten Vektorfeldern. Weil aber bei einem Koordinatenwechsel konstante
Vektorfelder im Allgemeinen nicht auf konstante Vektorfelder abgebildet werden, ist
diese Beschreibung nicht invariant unter Koordinatenwechsel. Um eine solche invariante
Beschreibung zu finden führen wir zwei Tensoren ein, die wir aus der Metrix und einem
Vektorfeld X bilden können.
Definition 1.10. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und X ein Vektorfeld
von M. Dann sei LXg die Lie-Ableitung von g längs dem Vektorfeld X und ϑX die
Einsform iXg, die also für alle Vektorfelder Y erfüllt
〈ϑX, Y 〉 = g(X, Y ).
Ein Vektorfeld X heißt Killingvektorfeld, wenn LXg identisch verschwindet.
Sei wieder X = a i ∂i und g die euklidische Metrix g = δijdx i dx j . Dann gilt
LX(δijdx i dx j ) = LXδij + δijLX(dx i )dx j + δijdx i LX(dx j )
= δijd(LX(x i ))dx j + δijdx i d(LX(x j ))
= δijda i dx j + δijdx i da j
= δij(∂ka i )dx k dx j + δijdx i (∂ka j )dx k
= (∂ka i )dx k dx i + (∂ka i )dx i dx k
= (∂ka i + ∂ia k )dx k dx i
Also ist im euklidischen das Vektorfeld genau dann ein Killingfeld, wenn gilt ∂ka i +
∂ia k = 0. Daraus folgt aber ∂j∂ka i = −∂j∂ia k = −∂i∂ja k = ∂i∂ka j = ∂k∂ia j = ∂k∂ja i .
Also muss gelten ∂i∂ka i = 0. Daraus folgt
a i = α i jx j + β i mit α i j = ∂ja i = −∂ia = −α j
i .
Sei A die Matrix mit den Einträgen (α i j), dann sind die entsprechenden Flüsse gegeben
durch
F t (x) = exp(At)x + tβ.
Weil A antisymmetrisch ist, ist exp(At) eine orthogonale Matrix.