Riemannsche Geometrie FS 07 - Lehrstuhl für Mathematik III

Kapitel 3
Hyperflächen
3.1 Hyperflächen
In diesem Abschnitt betrachten wir Untermannigfaltigkeiten von Riemannschen Mannigfaltigkeiten
der Kodimensionen Eins. Die Untersuchung von Flächen im dreidimensionalen
euklidischen Raum stand am Anfang der Riemannschen Geometrie. Erst danach
hat sich die entwicklung der intrimischen Differentialgeometrie herausgebildet.
Wir unterscheiden zwischen intrimischen Betrachtungen, die nicht von der Einbettung
in die höherdimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit abhängen und extrimischen
Betrachtungen, die davon abhängen.
Sei also f : M → N eine Immersion von der differenzierbaren Mannigfaltigkeit M
in die Riemannsche Mannigfaltigkeit N. Dann induziert die Abbildung
T f : T M → T N
eine Metrik auf T M, so dass die Immersion f die Riemannsche Immersion wird. Das
Tangentialbündel T N zerfällt in allen Punkten im Bild von f in eine direkte Summe
f x T N = T M ⊕ T M ⊥
hierbei bezeichnet T M ⊥ das orthogonale. Weil diese Zerlegung nun in allen Punkten
im Bild von f gilt, betrachten wir das zurückgezogene Bündel f ∗ T N auf M. Wenn
M und N beide orientiert sind, dann gibt es in dem Linienbündel T M ⊥ auf M genau
einen globalen Schnitt, der überall die Länge Eins hat und die Orientierung von M
in eine von N überführt. Diesen Schnitt haben wir Normal genannt. Im Fall, dass N
der euklidische Raum R n+1 ist, können wir T R n+1 mit R n+1 × R n+1 identifizieren. Also
induziert die Normale dann eine Abbildung von M nach S n . Sie heißt Gaußabbildung.
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