Riemannsche Geometrie FS 07 - Lehrstuhl für Mathematik III

Riemannsche Geometrie 

FS 07 

Martin Kilian/Martin U. Schmidt

Inhaltsverzeichnis 

1 Riemannsche Mannigfaltigkeiten 5 

1.1 Riemannsche Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

1.2 Rahmenbündel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

1.3 Die kovariante Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

1.4 Lie Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

1.5 Der Zusammenhang in lokalen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . 20 

2 Die Krümmung 23 

2.1 Der Krümmungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

2.2 Schnittkrümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

2.3 Ricci-Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

2.4 Die skalare Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

3 Hyperflächen 35 

3.1 Hyperflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

4 Mannigfaltigkeiten als metrische Räume 43 

4.1 Zweite Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

4.2 Geodäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 

4.3 Die Metrik einer Riemannschen Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . 48 

4.4 Die Exponentialabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

4.5 Geodätische und Kürzeste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

4.6 Der Satz von Hopf Rinow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 

4.7 Krümmung und Jacobifelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

4.8 Die zweite Variation und der Satz von Jacobi . . . . . . . . . . . . . . 63 

4.9 Der Schnittort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 

3

4 INHALTSVERZEICHNIS

Kapitel 1 

Riemannsche Mannigfaltigkeiten 

1.1 Riemannsche Metrik 

Definition 1.1. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit 

M zusammen mit einem positiv definiten Skalarprodukt g auf allen Fasern 

des Tangentialbündels T M. Dieses Skalarprodukt soll zudem glatt sein. 

Beispiel 1.2. (i) Der euklidische Raum R n zusammen mit dem euklidischen Skalarprodukt 

〈x, y〉 = x1y1 + . . . + xnyn für alle xy ∈ R n 

macht R n zu einer Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Hierbei identifizieren wir 

für alle x ∈ R n den Tangentialraum TxR n im Punkt x auf die natürliche Weise 

mit R n . Dadurch induziert das euklidische Skalarprodukt für alle x ∈ R n auf TxR n 

ein einduetiges posotiv definites Skalarprodukt, so dass TxR n R n eine Isometrie 

ist. 

(ii) Die n-dimensionale Späre S n = {x ∈ R n+1 | |x| = 1} ist eine Untermannigfaltigkeit 

des euklidischen Raumes. Insbesondere ist für alle x ∈ S n der Tangentialraum 

TxS n im Punkt x ein Untervektorraum von TxR n+1 . Indem wir das euklidische 

Skalarprodukt des R n+1 auf diesen Unterraum einschränken, erhalten wir ein positiv 

definites Skalarprodukt auf TxS n . Dadurch wird S n zu einer Riemannschen 

Mannigfaltigkeit. 

(iii) Sei N eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und f : M → N eine Immersion, d.h. 

f ist eine glatte Abbildung von der differenzierbaren Mannigfaltigkeit M auf die 

differenzierbare mannigfaltigkeit N und für alle x ∈ M sei die Tangentialabbildung 

Txf : TxM → Tf(x)N 

5

6 KAPITEL 1. RIEMANNSCHE MANNIGFALTIGKEITEN 

injektiv. Dann induziert die Riemannsche Metrik von N durch f eine Riemannsche 

Metrik auf M, indem wir das Skalarprodukt von Tf(x)N auf den Bildern der 

Tangentialvektoren in TxM unter Txf auswerten. 

Übungsaufgabe 1.3. Die stereographische Projektion ist ein Diffeomorphismus von 

S n \ {(0, . . . , 0, 1)} mit R n . Zeige, dass die Riemannsche Metrik auf S n dadurch eine 

Riemannsche Metrik auf R n induziert, die gegeben ist durch eine glatten Funktion f : 

R n → R + mal der euklidischen Metrik von R n . Berechne diese Funktion f. 

Definition 1.4. Eine Riemannsche Immersion ist eine glatte Abbildung f : M → N 

zwischen den differenzierbaren Mannigfaltigkeiten M und N, so dass f eine Immersion 

ist und die Riemannsche Metrik von M mit der durch f von der Riemannschen Metrik 

von N auf M induzierten Metrik übereinstimmt. Eine Riemannsche Untermannigfaltigkeit 

M ↩→ N ist eine Untermannigfaltigkeit M von N, zusammen mit der durch die 

Immersion M ↩→ N von der Riemannschen Metrik von N induzierten Metrik auf M. 

Eine allgemeine Bilinearform auf dem R n läßt sich durch eine n × n Matrix A 

beschreiben 

〈x, y〉 = x t Ay 

wobei x und y Spaltenvektoren in R n sind und x t · A · y das Matrixprodukt von dem 

Zeilenvektor x t mit der n × n Matrix A und dem Spaltenvektor y. Diese Bilinearform 

ist genau dann symmetrisch, wenn A = A t erfüllt. Die Matrix A heisst positiv (bzw. 

nicht negativ), wenn das entsprechende Skalarproduktz positiv definit ist (bzw. positiv 

semidefinit). Wenn U ⊂ R n eine offene Untermannigfaltigkeit des R n ist, dann läßt sich 

für alle x ∈ U der Tangentialraum TxU auf natürliche Art mit dem R n identifizieren. 

Deshalb ist die Vorgabe eines positiv definiten Skalarproduktes auf allen Fasern von 

T U äquivalent zu der Vorgabe einer Funktion A von U in die positiven symmetrischen 

Matrizen. Die Menge der symmetrischen n × n Matrizen ist als Vektorraum offenbar 

isomorph zum R n(n−1) 

2 . Das Komplement der positiven symmetrischen Matrizen in den 

symmetrischen Matrizen besteht offenbar aus allen Matrizen A mit 

x t Ax ≤ 0 für ein x ∈ S n−1 ⊂ R n . 

Weil die Abbildung (A, x) → x t Ax auf dem kartesischen Produkt der symmetrischen 

Matrizen mit S n−1 stetig ist, und S n−1 kompakt ist, gibt es für jede konvergente Folge 

(An)n∈N von nicht positiv definiten Matrizen einen Häufungspunkt x der entsprechenden 

Folge (xn)n∈N von Elementen in S n−1 mit x(limn→∞ An)x t = limn→∞ xnAnx t n ≤ 0. 

Also sind dann die nicht positiv definiten Matrizen eine abgeschlossene Teilmenge der 

symmetrischen Matrizen. Dann bilden die positiven symmetrischen Matrizen eine offene 

Untermannigfaltigkeit der symmetrischen Matrizen R n(n−1) 

2 . Also ist die Vorgabe

1.1. RIEMANNSCHE METRIK 7 

einer Riemannschen Metrik auf U äquivalent zu der Vorgabe einer glatten Funktion A 

von U in die positiven symmetrischen Matrizen. Entsprechend wird auf einer differenzierbaren 

Mannigfaltigkeit eine Riemannsche Metrik angegeben, indem für jede Karte 

ϕ : U → ϕ[U] ⊂ R n , eine Funktion gϕ von U in die positiven symmetrischen Matrizen 

angegeben wird, so dass für je zwei Karten ϕ und ψ mit Definitionsbereichen U und V 

auf der Schnittmenge der Definitionsbereiche gilt: 

gψ(x) = (ϕ ◦ ψ −1 ) ′ (ψ(x) t gϕ(x)(ϕ ◦ ψ −1 ) ′ (ψ(x)) für alle x ∈ U ∩ V. 

Hierbei bezeichnet (ϕ◦ψ −1 ) ′ (ψ(x)) die Tangentialbildung von ϕ◦ψ −1 im Punkt ψ(x) als 

Abbildung von R n Tψ(x)R n nach R n Tϕ(x)R n . In den Koordinaten ϕ = (ϕ 1 , . . . , ϕ n ) 

können wir diese Metrik auch schreiben als 

gϕ = 

i,j 

gijdϕ i dϕ j . 

Hierbei bezeichnet dϕi den Schnitt des Kotangentialbündels T M |U, der durch die 1- 

Form dϕi gegeben ist. Dann ist dϕi ⊗ dϕj ein Schnitt von T 2M |U. Weil Riemannsche 

Metriken Schnitte des symmetrischen Tensorproduktes des Kotangentialbündels mit 

sich selber sind, bezeichnen wir den entsprechenden symmetrischen Schnitt 1 

2 (dϕi ⊗ 

dϕj + dϕj ⊗ dϕi ) einfach mit dϕidϕj dadurch wird 

dϕidϕj genau dann zu einer Rie- 

mannschen Metrik auf U, wenn gϕ eine glatte Funktion in die positiven symmetrischen 

n × n Matrizen ist. 

Bemerkung 1.5. Wir werden einerseits versuchen die mathematischen Objekte und 

ihre Beziehungen koordinatenfrei zu beschreiben, so dass sie nicht von der Wahl einer 

Karte abhängen. Andererseits lassen sich bei vielen Rechnungen nicht die Wahl eines 

Koordinatensystem vermeiden. Um dann diese Objekte in den entsprechenden Koordinaten 

auszudrücken, haben sich einige Konventionen als nützlich erwiesen: Obere Indizes 

nummerieren Basiselemente von kontravarianten Tensoren (wie 1-Formen) und 

untere Indizes nummerieren Basiselemente von kovarianten Tensoren (wie Vektorfel- 

der). Eine Basis der 1-Formen in den Koordinaten ϕ bezeichnen wir mit dϕ 1 , . . . , dϕ n 

und die duale Basis der Vektorfelder mit ∂ 

∂ϕn 

i,j 

, . . . , ∂ 

∂ϕn oder nur ∂1, . . . , ∂n. Die Sum- 

menzeichen über Indizes, die sowohl oben als auch unten vorkommen lassen wir weg 

(Einsteinsche Summenkonvention). 

Satz 1.6. Jede differenzierbare Mannigfaltigkeit besitzt eine Riemannsche Metrik. 

Beweis: Wähle einen Atlas und eine dazugehörige glatte Zerlegung der Eins. Jede 

Karte ϕ : U → ϕ[U] ist offenbar ein Diffeomorphismus von U auf ϕ[U] ⊂ R n . Die 

euklidische Metrik auf dem R n induziert also durch ϕ auf U eine Riemannsche Metrik.


Die Summe dieser Metriken multipliziert mit den Funktionen der Zerlegung der Eins 

ergibt eine Riemannsche Metrik auf der ganzen Mannigfaltigkeit. q.e.d. 

Anstatt von den Skalarprodukten positiv Definitheit zu fordern, kann man auch 

nur nicht Entartetheit fordern. Das führt zu den Begriffen der pseudo (oder semi) Riemannsche 

Metrik und Mannigfaltigkeit. Sehr viele Konstruktionen aus dieser Vorlesung 

lassen sich auf solche Situationen verallgemeinern. 

1.2 Rahmenbündel 

Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit der Dimension n. Ein Rahmen an p ∈ M ist eine 

geordnete Basis von TpM. Ein begleitendes n − Bein auf einer offenen Menge U ⊂ M 

ist ein n-Tupel (Xi, . . . , Xn) von Vektorfeldern auf U, so dass x, (p), . . . , Xn(p) an jedem 

p ∈ U ein Rahmen ist. Sei B die menge aller begleitender n-Beine auf M. Definiere die 

Projektion 

π : B → M, b ↦→ p 

wenn b ein Rahmen an p ist. (Fußpunktprojektion) 

Sei {(Uα, Xα = }α∈A die Menge aller Paare wobei Uα ⊂ M offene Teilmenge und Xα = (Xα , . . . , X) 

ein begleitendes N-Bein auf Uα ist. 

Für jedes α ∈ A haben wir eine Abbildung 

π −1 (Uα) → Uα × GL(n, R) 

b → (π(b), fα(b)) 

mit fα(b) = (aij wobei b = ( n 

ai, Xα i , . . . , n 

i=1 

rechts wirkt: utb = (b, . . . , bn) und g = (gij), dann 

bg = ( 

ainX 

i=1 

α i ). Merke, dass GL(u, R) auf B von 

n 

gi, bi, . . . , 

i=1 

wieder Rahmen. Damit lässt sich zeigen: 

n 

i=1 

ginbi) 

(bg)li = b(gn), fα(bg) = fα(b)g, b ∈ B, g, h ∈ GL(n, R. 

Sei nun Uα ∩ Uβ = φ und betrachte die Abbildung 

π −1 (Uα) ∩ π −1 (Uβ) → GL(n, R 

b ↦→ fα(b)f −1 

β (b)

1.2. RAHMENBÜNDEL 9 

und wegen fα(bg)f −1 

β 

−1 

(bg) = fα(b)fβ (b) erhalten wir die Abbildung 

fαβ : Uα ∩ Uβ 

π(b) ↦→ fα(b)f −1 

β (b). 

→ GL(u, R) 

Mit Hilfe von Koordinaten kann man zeigen, dass die fαβ glatt sind. Sie heissen 

Übergangfsfunktionen weil 

fα(b) = fαβ(π(b))fβ(b), b ∈ π −1 (Uα) ∩ π −1 (Uβ) 

gilt. Desweiteren gelten die Kozykelbedingungen: 

fβα(p) = f −1 

α,β (p) , p ∈ Uα ∩ Uβ 

fαβ(p)fβγ(p)fγα(p) = 1, p ∈ Uα ∩ Uβ ∩ Uγ. 

Wir vershen nun B mit der Struktur einer glatten Mannigfaltigkeit: 

Proposition 1.7. Es gibt eine eindeutige glatte Struktur auf B, so dass die Abbildungen 

π −1 (Uα) → Uα × GL(n, R) Diffeomorphismen sind. Desweiteren gilt 

(i) T L ist eine Submersion. 

(ii) Die Operation B × GL(n, R) → B ist glatt und frei. 

(iii) X ist ein begleitendes n-Bein auf U ⊂ M genau dann, wenn X : U → B glatt mit 

π ◦ X = 1n. 

Beweis: Sei (Uα, φα) karte auf M. Dann ist 

ψ : π −1 (Uα) → R n × R n2 

b ↦→ (φα ◦ π(b), (aij) 

glatte Karten auf B, wenn bi = aijDj gilt. q.e.d. 

Definition 1.8. Mit dieser glatten Struktur heisst B das Rahmenbündel von M, und 

wegen (iii) sind begleitende n-Beine Schnitte dieses Bündels. [Das Rahmenbündel ist 

ein Beispiel eines Prinzipalbündels]. 

Ist X = (X, , . . . , Xn) : U → B ein Schnitt und σ = (σ ′ ; . . . , σ n ) der Korahmen, d.h. 

die l-Formen so dass σi(Xj) = δij gilt, dann lässt sich eine Metrik schreiben als 

g = gijσ ⊕ i σ j 

, gij = g(xi, xj).


Beispiel 1.9. Betrachte folgende Vektorfelder auf dem R 4 : 

X1 = X2∂1 − x1, ∂2 + x4∂3 − x3∂4 

X2 = x3∂1 − x4, ∂2 − x1∂3 + x2∂4 

X3 = x4∂1 + x3, ∂2 − x2∂3 − x1∂4 

Eingeschränkt auf S 3 , bilden (X1, X2, X3) an jedem Punkt p ∈ S 3 einen Rahmen: 

Korahmen: 

Also gilt 

⎛ 

x2 x3 x4 x1 

⎜−x1 

x4 x3 x2⎟ 

det ⎜ 

⎟ 

⎝ x4 −x1 −x2 x3⎠ 

= (x21 + x 2 2 + x 2 3 + x 2 4) 2 = 1 

x3 x2 −x1 x4 

σ 1 

σ 2 

σ 1 

⎞ 

= x2dx 1 − x1dx 2 + x4dx 3 − x3dx 4 

= x3dx 1 − x4dx 2 − x1dx 3 + x2dx 4 

= x4dx 1 + x3dx 2 − x2dx 3 − x1dx 4 

(dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2 + (dx 4 ) 2 = 

3 

〈xi, xj〉σ i σ j 

Rotationsflächen: Sei ϕ : I → R 2 , t ↦→ (r(t), z(t)), r〉0 Rotation um die z-Achse 

gibt eine Rotationsfläche f : (t, θ) ↦→ (r(t) cos θ, r(t) sin θ, z(t)). Die induzierte Metrik 

(1.Fundamentalform) ist: 

und wegen 

ist 

und somit 

ist ϕ nach Bogenlänge parametrisiert, d.h. 

so vereinfacht sich dies zu 

i,j=1 

g = 〈ft, ft〉dt 2 + 2〈ft, fθ〉dtdθ + 〈fθ, fθ〉dθ 2 

ft 

fθ 

= (i cos θ, ˙r sin θ, ˙z) 

= (−r sin θ, r cos θ, 0) 

〈ft, ft〉 = ˙r 2 + ˙z 2 , 〈ft, fθ〉 = 0〈fθ, fθ〉 = r 2 

g = ( ˙r 2 + ˙z 2 )dt 2 + r 2 dθ 2 

〈 ˙ϕ, ˙ϕ〉 = ˙r 2 + ˙z 2 ) = 1, 

g = dt 2 + r 2 φθ 2 .

1.3. DIE KOVARIANTE ABLEITUNG 11 

1.3 Die kovariante Ableitung 

In diesem Abschnitt lernen wir ein Vektorfeld X längs eines anderen Vektorfeldes Y 

abzuleiten. Eine solche sogenannte kovariante Ableitung soll aber so definiert werden, 

dass ihre Berechnung nicht von der Wahl des Koordinatensystem abhängt. Im euklidischen 

Raum R n haben wir ein globales Koordinatensystem, so dass wir die kovariante 

Ableitung ∇Y X eines Vektorfeldes X = a i ∂i einfach durch 

∇Y X = (∇Y a i )∂i = 〈da i , Y 〉∂i 

definieren können. Insbesondere verschwinden also die kovarianten Ableitungen von 

allen konstanten Vektorfeldern. Weil aber bei einem Koordinatenwechsel konstante 

Vektorfelder im Allgemeinen nicht auf konstante Vektorfelder abgebildet werden, ist 

diese Beschreibung nicht invariant unter Koordinatenwechsel. Um eine solche invariante 

Beschreibung zu finden führen wir zwei Tensoren ein, die wir aus der Metrix und einem 

Vektorfeld X bilden können. 

Definition 1.10. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und X ein Vektorfeld 

von M. Dann sei LXg die Lie-Ableitung von g längs dem Vektorfeld X und ϑX die 

Einsform iXg, die also für alle Vektorfelder Y erfüllt 

〈ϑX, Y 〉 = g(X, Y ). 

Ein Vektorfeld X heißt Killingvektorfeld, wenn LXg identisch verschwindet. 

Sei wieder X = a i ∂i und g die euklidische Metrix g = δijdx i dx j . Dann gilt 

LX(δijdx i dx j ) = LXδij + δijLX(dx i )dx j + δijdx i LX(dx j ) 

= δijd(LX(x i ))dx j + δijdx i d(LX(x j )) 

= δijda i dx j + δijdx i da j 

= δij(∂ka i )dx k dx j + δijdx i (∂ka j )dx k 

= (∂ka i )dx k dx i + (∂ka i )dx i dx k 

= (∂ka i + ∂ia k )dx k dx i 

Also ist im euklidischen das Vektorfeld genau dann ein Killingfeld, wenn gilt ∂ka i + 

∂ia k = 0. Daraus folgt aber ∂j∂ka i = −∂j∂ia k = −∂i∂ja k = ∂i∂ka j = ∂k∂ia j = ∂k∂ja i . 

Also muss gelten ∂i∂ka i = 0. Daraus folgt 

a i = α i jx j + β i mit α i j = ∂ja i = −∂ia = −α j 

i . 

Sei A die Matrix mit den Einträgen (α i j), dann sind die entsprechenden Flüsse gegeben 

durch 

F t (x) = exp(At)x + tβ. 

Weil A antisymmetrisch ist, ist exp(At) eine orthogonale Matrix.


Proposition 1.11. Die kovariante Ableitung des R n ist eindeutig bestimmt durch 

2g(∇Y X, Z) = LXg(Y, Z) + dϑX(Y, Z). 

Beweis: Offenbar hängen beide Seiten jeweils nur von den Werten der Vektorfelder 

an dem jeweiligen Punkt von R n ab. Deshalb genügt es die Aussage für Vektorfelder 

X = a i ∂i zu zeigen: 

LXg(∂k, ∂l) + dϑX(∂k, ∂l) = 

= LX(δkl) − g(LX∂k, ∂l) − g(∂k, LX∂l) + ∂kg(X, ∂l) − ∂lg(X, ∂k) − g(X, [∂k, ∂l]) 

= −g([X, ∂k], ∂l) − g(∂k, [X, ∂l]) + ∂ka l − ∂la k + ∂ka l + ∂la k 

= 2∂ka l = 2g((∂ka i )∂i, ∂l) = 2g(∇∂kX, ∂l). 

Satz 1.12. (Fundamentalsatz der Riemannschen Geometrie) Auf jeder Riemannschen 

Mannigfaltigkeit gibt es genau einen kovariante Ableitung ∇Y X eines Vektorfeldes X 

längs eines anderen Vektorfeldes Y , die folgende Bedingungen erfüllt: 

(i) Die kovariante Ableitung ∇Y X hängt nur linear von den entsprechenden Werten 

des Vektorfeldes Y ab. 

(ii) Die Abbildung X → ∇Y X ist eine Derivation, d.h. es gilt 

∇Y (X1 + X2) = ∇Y X1 + ∇Y X2 

∇Y fX = 〈df, Y 〉X + f∇Y X. 

(iii) Der offene Zusammenhang ist torsionsfrei, d.h. es gilt 

∇XY − ∇Y X − [X, Y ] = 0. 

(iv) Der affine Zusammenhang ist ein metrischer Zusammenhang, d.g. es gilt 

〈d(g(X, Y )), Z〉 = g(∇ZX, Y ) + g(X, ∇ZY ). 

Beweis: Zunächst zeigen wir, dass ein solcher Zusammenhang existiert. Dazu definieren 

wir ihn durch 

2g(∇Y X, Z) = LXg(Y, Z) + dϑX(Y, Z). 

Aufgrund der Definition hat dieser Zusammenhang die Eigenschaft (i). Für die Derivationseigenschaft 

berechnen wir zunächst 

LfXg = fLXg + df ⊗ ϑX + ϑX ⊗ df.


Das folgt aus 

LfXY = [fX, Y ] = f[X, Y ] − X〈df, Y 〉. 

Dann folgt nämlich wegen der Derivationseigenschaft der Lieableitung 

(LfXg)(Y, Z) = 

= 〈dg(Y Z), fX〉 − g(LfXY, Z) − g(Y, LfXZ) 

= f〈dg(Y, Z), X〉 − g([fX, Y ], Z) − g(Y, [fX, Z]) 

= f〈dg(Y, Z), X〉 − fg([X, Y ], Z) − fg(Y, [X, Z]) + 〈df, Y 〉g(X, Z) + 〈df, Z〉g(Y, X) 

= (fLXg)(Y, Z) + (df ⊗ ϑX)(Y, Z) + (ϑX ⊗ df)(Y, Z). 

Daraus folgt dann 

LfXg + dϑfX 

Deshalb gilt 

= fLXg + df ⊗ ϑX + ϑX ⊗ df + d(fϑX) 

= fLXg + df ⊗ ϑX + ϑX ⊗ df + dfϑX + fdϑX 

= f(LXg + dϑX) + df ⊗ ϑX + ϑX ⊗ df + df ⊗ ϑXϑX ⊗ df 

= f(LXg + dϑX) + 2df ⊗ ϑX. 

2g(∇Y fX, Z) = f2g(∇Y X, Z) + (2df ⊗ ϑX)(Y, Z) 

= 2g(f∇Y X + 〈df, Y 〉X, Z) 

= 2g(f∇Y X + 〈df, Y 〉X, Z). 

Also folgt auch die Derivationseigenschaft. Um die letzten beiden Eigenschaften herzuleiten 

zeigen wir zunächst die sogenannte Koszul Formel: 

2g(∇Y X, Z) = (LXg)(Y, Z) + dϑX(Y, Z) 

= 〈dg(Y, Z), X〉 − g([X, Y ], Z) − g(Y, [X, Z]) 

+ 〈d〈ϑX, Z〉 − 〈d〈ϑX, Y 〉, Z〉 − 〈ϑX, [Y, Z]〉 

= 〈dg(Y, Z), X〉 − g([X, Y ]) − g(Y, [X, Z]) 

+ 〈dg(X, Z), Y 〉 − 〈dg(X, Y ), Z〉 − g(X, [Y, Z]) 

= 〈dg(Y, Z), X〉 + 〈dg(Z, X), Y 〉 − 〈dg(X, Y ), Z〉 

− g([X, Y ], Z) − g([Y, Z], X) + g([Z, X], Y ).


Daraus folgt (iii) 

2g(∇XY − ∇Y X, Z) = 〈dg(XZ), Y 〉 + 〈dg(Z, Y ), X〉 − 〈dg(Y, X), Z〉 

Und (iv) folgt aus 

−〈dg(Y, Z), X〉 − 〈dg(Z, X), Y 〉 + 〈dg(X, Y, Z〉 

−g([Y, X], Z) − g([X, Z], Y ) + g([Z, Y ], X) 

+g([x, Y ], Z) + g([Y, Z], X) − g([Z, X], Y ) 

= 2g([X, Y ], Z). 

2g(∇ZX, Y ) + 2g(X, ∇ZY ) = 〈dg(Z, Y ), X〉 + 〈dg(Y, X), Z〉 − 〈dg(X, Z), Y 〉 

+〈dg(Z, X), Y 〉 + 〈dg(X, Y ), Z〉 − 〈dg(Y, Z), X〉 

−g([X, Z], Y ) − g([Z, Y ], X) + g([Y, X], Z) 

−g([Y, Z], X) − g([Z, X], Y ) + g([X.Y ], Z) 

= 2〈dg(X, Y ), Z〉. 

Umgekehrt folgt für jeden affinen Zusammenhang ˜ ∇, der die Bedingungen (i)-(iv) 

erfüllt aus der Koszulformel 

2g(∇Y X, Z) = 〈dg(Y, Z), X〉 + 〈dg(Z, X), Y 〉 − 〈dg(X, Y ), Z〉 

−g([X, Y ], Z) − g([Y, Z], X) + g([Z, X], Y ) 

= g( ˜ ∇XY, Z) + g(Y, ˜ ∇XZ) + g( ˜ ∇Y Z, X) + g(Z, ˜ ∇Y X) 

−g( ˜ ∇ZX, Y ) − g(X, ˜ ∇ZY ) + g( ˜ ∇ZX, Y ) + g( ˜ ∇XZ, Y ) 

−g ˜ ∇XY, Z) + g( ˜ ∇Y X) + g( ˜ ∇ZY, X) = 2g( ˜ ∇Y X, Z). 

Also gilt auch für jeden solchen affinen Zusammenhang die Koszulformel. q.e.d. 

Definition 1.13. Ein Zusammenhang der (i)-(ii) erfüllt heißt affiner Zusammenhang. 

Erfüllt er zusätzlich (iii) und (iv) dann heißt er Riemannscher Zusammenhang 

oder Levi–Civita–Zusammenhang. Die Torsion eines affinen Zusammenhang ist gegeben 

durch 

T (X, Y ) = ∇XY − ∇Y X − [X, Y ]. 

Weil die Lieableitung eines Tensors nach einem Vektorfeld X nur von den Werten 

des Tensors auf einer Integralkurve von dem Vektorfeld X abhängt, und die Auswertung 

der äußeren Ableitung der Einsform ϑX auf den Vektorfeldern Y und Z durch die 

Lieableitung der Einsform Offenbar hängt für jeden affinen Zusammenhang die Werte 

des Vektorfeldes ∇Y X nur von den Werten des Vektorfeldes X auf einer Integralkurve 

von Y ab.


Lemma 1.14. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Sei X ein glattes Vektorfeld 

auf M. Dann gibt es für glatten Schnitt S des Bündels T q p M, also des p-fachen 

Tensorproduktes des Tangentialbündels von M mit dem p-fachen Tensorprodukt des 

Kotangentialbündels von M genau einen glatten Schnit ∇XS des Bündels T q p M, so 

dass folgendes gilt: 

(i) ∇X(S ⊗ S) = (∇XS) ⊗ S ′ + S ⊗ (∇XS ′ ) für Schnitte S ∈ Γ(T p q M) und 

S ′ ∈ Γ(T p q M) (Leibnizregel). 

(ii) ∇X vertauscht mit allen Verjüngungen i j 

1 

i = 1, . . . , p, j = 1, . . . , q : i j 

i : T q p M → T q−1 

p−1 M. 

Beweis: Sei S eine Differentialform. Dann folgt aus (i) und (ii) 

oder auch 

∇X〈S, Y 〉 = 〈∇XS, Y 〉 + 〈S, ∇XY 〉 

〈∇XS, Y 〉 = ∇X〈S, Y 〉 − 〈S, ∇XY 〉. 

Wegen der Derivationseigenschaft folgt daraus: 

Also gilt auch 

〈∇XfS, Y 〉 = ∇X(f · 〈S, Y 〉 − f〈S, ∇XY 〉 

= f(∇X〈S, Y 〉 − 〈S, ∇XY 〉 + ∇Xf · 〈S, Y 〉 

∇Xf · S = 〈df, X〉 · S + f(∇XS) 

Jedes Tensorfeld ist aber eine endliche Linearkombination von Tensorprodukten von 

Vektorfeldern und 1-Formen. Also folgt die Aussage aus der Derivationseigenschaft von 

den kovarianten Ableitungen von Vektorfeldern und 1-Formen. q.e.d. 

Definition 1.15. Wegen der Eigenschaft (i) gibt es für jeden affinen Zusammenhang 

und jeden glatten Schnitt S von T q p M einen glatten Schnitt ∇S von T q+1 

p M Schnitt, so 

dass für jedes glatte Vektorfeld X die Verjüngung von X mit der zusätzlichen kontravarianten 

Komponente von ∇S in X ⊗ ∇S genau ∇XS ergibt. 

Lemma 1.16. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit metrischem Zusammenhang 

∇. Dann gilt 

(i) ∇g = 0 

(ii) Für jede glatte Funktion f ist die kovariante Ableitung von f gleich df, also die 

1-Form, so dass für alle glatten Vektorfelder X gilt 〈df, X〉 = ∇Xf.


Beweis:(i) folgt sofort aus dem vorangehenden Lemma und der Eigenschaft (iii). 

(ii) folgt aus der Derivationseigenschaft. q.e.d. 

Offenbar hängt die Wirkung einer kovarianten Ableitung auf Funktionen nicht von 

der Metrik oder allgemeiner von der Wahl des affinen Zusammenhangs ab. Weil wir die 

Ableitung einer Funktion als 1-Form schon mit df bezeichnen, werden wir im Folgenden 

mit ∇f im Allgemeinen das entsprechende Vektorfeld bezeichnen: 

〈df, X〉 = g(∇f, X) für alle Vektorfelder X. 

Allgemeiner kann man jedes Tensorfeld S ∈ Γ(T q p M) durch Tensorieren mit g und 

anschließenden Verjüngungen in ein Tensorfeld i q+1 

k (g ⊗ S) ∈ Γ(T q+1 

p−1 M) umwandeln. 

Wegen der Nichtentartetheit der Metrik ist diese Abbildung Γ(T q p M) → Γ(T q+1 

p−1 M) 

invertierbar. Die inverse Abbildung können wir auch folgendermaßen beschreiben: 

Die identische Abbildung 1T M ∈ T 1 1 M. Wegen der Nichtentartetheit von g gibt es genau 

einen symmetrischen Tensor g −1 ∈ Γ(T 0 2 M), so dass die Verjüngung von g ⊗ g −1 

gleich 1T M ist. Dann ist ∇f die Verjüngung von g −1 ⊗ df. Aus den beiden vorangehenden 

Lemmata folgt sofort, dass auch die kovariante Ableitung von 1T M und g −1 

verschwindet (Übungsaufgabe). 

Auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten können wir also alle Schnitte von T q p M durch 

mehrfaches Tensorieren mit g −1 und Verjüngen in Schnitte von Tp+qM umwandeln, wobei 

die kovariante Ableitung entsprechend transformiert wird. Analog können wir durch 

mehrfaches Tensorieren mit g und Verjüngen die Schnitte von T q p M auch in Schnitte 

von T p+q M umwandeln, wobei die kovariante Ableitung entsprechend transformiert 

wird. 

1.4 Lie Gruppen 

Definition 1.17. Eine Lie Gruppe G ist eine Mannigfaltigkeit mit einer glatten Multiplikationsabbildung 

µ : G × G → G, (g, h) ↦→ gh 

und einer glatten Inversenabbildung 

die G zu einer Gruppe machen. 

i : G → G, g ↦→ g −1 

Ist G eine Lie Gruppe, dann bezeichnen wir Links- und Rechtsmultiplikation mit 

einem Element g ∈ G mit Lg bzw. Rg, d.h. 

Lg : G → Gh ↦→ gh

1.4. LIE GRUPPEN 17 

Rg : G → G, h ↦→ hg 

Beide Abbildungen sind Diffeomorphismen mit L −1 

g = Lg−1 und R −1 

g = Rg−1. 

Ein Vektorfeld X : G → T G heißt invariant falls für alle g ∈ G gilt: 

DnLg(X(h)) = X(gh) 

Insbesondere gilt dann auch X(g) = D1LgX(1), also sind linksvariante Vektorfelder 

durch ihren Wert an 1 festgelegt. Bezeichne die Menge der linksinvaranten Vektorfelder 

mit ΓL(G). Dann ist 

ein Vektorraum Isomorphismus. 

ΓL(G) 

X : g ↦→ D1Lg(v1 

∼ = T1G 

X ↦→ X(1) 

↦→ v1 

Da für linksinvariante Vektorfelder der Kommutator wieder linksvariant ist (Übung!), 

bilden die linksvarianten Vektorfelder einer Liegruppe eine Algebra, die sogenannte 

Lie Algebra g . 

Das Tangentialbündel einer Lie Gruppe ist trivial: 

T G 

∼ = G × g 

vg ↦→ (g, DgL −1 

g (vg)) 

D1Lg(v) ←↪ (g, v1) 

Die (linke)Maurer-Cartan Form ist die g-wertige l-Form g ↦→ θg wobei 

θg : T G → g 

vg 

↦→ DgL −1 

g (vg) 

Proposition 1.18. Für X ∈ ΓL(G) ist θ(X) konstant. 

Beweis: 

θg(X(g)) = D − gL −1 

g (X(g)) = DgL −1 

g (D1LgX(1)) = X(1). 

Sind X, Y ∈ ΓL(G) zwei linksinvariante Vektorfelder, dann ist 

dθ(X, Y ) = Xθ(Y ) + Y θ(X) − θ([X, Y ]). 

q.e.d.


Weil jedoch θ(X) und θ(Y ) konstant sind, sind Xθ(Y ) und Y θ(X) beide Null. Weil 

[X, Y ] wieder linksvariant ist, ist auch θ([X, Y ]) konstant und somit 

Also haben wir insgesamt gezeigt 

θ([X, Y ]) = [X, Y ](1) = [X(1), Y (1)] 

= [θ(X), θ(Y )]. 

dθ(X, Y ) + [θ(X), θ(Y )] = 0. 

Dies ist die Strukturgleichung oder Maurer-Cartan-Gleichung. Wir haben diese Gleichung 

für 2-Formen, muss also für zwei beliebige Tangentialvektoren U, V, ∈ T G gelten, 

die Einschränkungen von linksvarianten Vektorfeldern auf G sind. Da sich jedoch 

jeder Tangentialvektor zu einem linksinvarianten Vektorfeld fortsetzen lässt, gilt die 

Strukturgleichung für beliebige Vektorfelder X, Y . Ist M eine Mannigfaltigkeit, und 

α, β ∈ Ω ′ (Mg l-Formen auf M mit Werten in einer Lie Algebra g dann definiere eine 

g-wertige 2-Form 

[α ∧ β](X, Y ) := [α(X), β(Y )] − [α(Y ), β(X)], X, Y ∈ T M 

N.B.· [α ∧ β] = [β ∧ α] 

·[α ∧ α](X, Y ) = 2[α(X), α(Y )]. 

Also lässt sich die Strukturgleichung schreiben als 

2dθ + [θ ∧ θ] = 0. 

Proposition 1.19. Ist f : M → G, α := f ⋆ θ dann gilt 

Beweis: 

Notation: 

2dα + [α ∧ α] = 0 

2d/f ⋆ θ) + [f ⋆ θ ∧ f ⋆ θ] = 2f ⋆ dθ + f ⋆ [θ ∧ θ] = f ⋆ (2dθ + [θ ∧ θ]) = 0 

f ⋆ θ(X, (p)) = θf(p)Df(X(p)) = Df(p)L −1 

f(p) df(X(p)) 

′ − ′ (f(p)) −1 Df(X(p)). 

q.e.d.

1.4. LIE GRUPPEN 19 

Also schreibt man 

f ⋆ θ = f −1 Df 

. Jedes innere Produkt 〈, 〉 auf g induziert eine linksvariante Metrik auf G durch 

und wir schreiben kurz 

g(X(p), Y (p) := 〈θp(X(p)), θp(Y (p))〉 

g = θ ⋆ 〈, 〉. 

Beispiel 1.20. Eine der wichtigsten nichtrivialen Lie Gruppen ist 

A ∈ su(2) ⇔ A = 

su(2) = {A ∈ M2x2(C) det A = 1, Āt = A −1 } 

 

z w 

= 

|z| 

− ¯w ¯z 

2 + |w| 2 

= = S 3 

 

x + iy u + iv 

, x, y, u, v ∈ R mit x 

−u + iv x − iy 

2 + y 2 , u 2 , v 2 = 1 

An der Identität 1 wird der Tangentialraum aufgespannt von Vektoren die senkrecht 

zu (1, 0, 0, 0) stehen. Also wird die Lie Algebra 

 

 

iy u + iv 

su(2) = 

y, u, v ∈ R 

−u + iv −iy 

erzeugt durch 

X1 = 

 

i 0 

x2 = 

0 −i 

Bezüglich der linksinvarianten Metrik 

 

0 1 

X3 = 

−1 0 

g(X, Y ) := − 1 

Spur XY 

2 

 

0 i 

o 0 

bilden {X1, X2, X3} eine Orthonormalbasis von su(2). Mittels Linksmultiplikation hat 

man somit an jedem Punkt p ∈ S 3 eine ONB von TpS 3 vermöge Xj(p) := DLp(Xj). 

Damit ist 

T S 3 ∼ = SU(2) × su(2).


1.5 Der Zusammenhang in lokalen Koordinaten 

In lokalen Koordinaten sei die Metrik 

g = gijdx i dx j 

sind x = a i ∂i und Y = b i ∂j zweier Vektorfelder dann ist 

ist ϑXY = g(x, y) so ist 

g(x, y) = gija i b j 

ϑX = g(x, ·) = gija i dx j 

Bezeichnen das Inverse der Matrix (gij)i,j mit g ij , also 

(gij) −1 = g ij 

ist w = αidx i eine l-Form, dann ist das durch Vektorfeld X definiert durch 

d.h. 

Daraus folgt 

g(X, Y ) = w(Y ) = ϑX(Y ) 

gija i = αj. 

a i = g ij αj 

und somit X = g ij αj∂i. Für f ∈ C ∞ (M, R) ist grad f = ∇f das Vektorfeld mit 

g(X, ∇f) = Xf für alle Vektorfelder X. In lokalen Koordinaten ist 

df = ∂ifdx i 

∇f = g ij ∂if∂j. 

Wir rechnen nun ∇yX in lokalen Koordinaten aus: 

∇yX = ∇bi a 

∂i 

j ∂j − b i ∇∂iaj∂j = b i ∂ia j ∂j + b i a j ∇∂i ∂j. 

Entwickeln wir das Vektorfeld ∇∂i ∂j = Γ k ij∂k, so erhalten wir 

Nun benutzen wir die Formel 

∇yX = b i ∂ia j ∂j + b i a j Γ k ij∂k. 

2g(∇yX, Z) = (LXg)(y, z) + dϑX(Y, Z)

1.5. DER ZUSAMMENHANG IN LOKALEN KOORDINATEN 21 

um die Funktion Γ k ij näher zu bestimmen: Die linke Seite gibt 

2g(∇∂i ∂j, ∂l) = 2g(Γ k ij∂k, ∂l) = 2Γ k ijgkl. 

Die rechte Seite liefert mit Koszul’s Formel 

Bis jetzt haben wir also 

L∂j g (∂i, ∂l) + dϑ∂j (∂i, ∂l) 

= ∂jgil + ∂i(ϑ∂j (∂l)) − ∂l(ϑ∂j (∂i)) 

= ∂jgil + ∂igjl − ∂lgji. 

Multiplizieren beider Seiten mit g kl ergibt 

Die Funktionen 

Γ k ij 

2Γ k ijgkl = ∂jgil + ∂igjl − ∂lgji 

= 1 

2 gkl (∂igil + ∂igjl − ∂lgji) 

= 1 

2 gkl Γij,l 

Γij,k = 1 

2 (∂jgik + ∂igjk − ∂kgji) 

heißen Christoffel Symbole erster Art, die Funktion Γ k ij heißen Christoffel Symbole zweiter Art. 

Die Torsionsfreiheit ∇XY − ∇yX = [X, Y ] in den Koordinatenvektorfeldern liest 

und somit 

also 

Die metrische Eigenschaft 

liest sich also 

∇∂i ∂j − ∇∂j ∂i = 0 

Γ k ij∂k = Γ k ji∂k 

Γ k ijΓ k ji. 

〈d(g(∂i, ∂j)), ∂k〉 = g(∇∂k ∂i, ∂j) + g(∂i, ∇∂k ∂j) 

∂kgij = Γki,j + Γkj,i.


Die Hess’sche: 

Ist X = a i ∂i ein Vektorfeld, so haben wir bereits gesehen, dass für die euklidische 

Metrik gilt 

LXg = (∂ka i + ∂ia k )dx k dx i . 

Ist X das Gradientenfeld einer Funktion f : R n → R, also a i = ∂if, dann ist 

Erinnere, dass 

LXg = (∂k∂if + ∂i∂kf)dx i dx k 

= 2(∂i∂kf)dx i dx l 

= 2 Hess f 

(LXg)(Y, Z) = Xg(Y, Z) − g(LXY, Z) − g(Y LXZ). 

In lokalen Koordinaten liest sich die Hess’sche von f: 

2 Hess f(∂i, ∂j) = L∇f g(∂i, ∂j) 

= ∇fgij − g(L∇f ∂i, ∂j) − g(∂i, L∇f ∂j) 

= g kl ∂kf∂lgij − g(L g kl ∂kf∂l ∂i, ∂j) − g(∂i, L g kl ∂kf∂l ∂j) 

= g kl ∂kf∂lgij + g(L∂i (gkl ∂kf∂l)∂j + g(∂i, L∂j (gkl ∂k∂l))∂j) 

= ∂kfg kl ∂lgij + ∂i(g kl ∂kf)glj + ∂j(g kl (∂kf))gil 

= ∂kfg kl ∂lgij + (∂ig kl ∂kf + g kl ∂i∂kf)glj + (∂jg kl ∂kf + g kl ∂j∂kf)gil 

= 2∂i∂jf + ∂kf(∂ − ig kl glj + ∂jg kl gil + g kl ∂lgij) 

= 2∂i∂jf − 2Γ k ij∂kf 

Hess f(∂i, ∂j) = ∂i∂jf − Γ k ij∂kf

Kapitel 2 

Die Krümmung 

2.1 Der Krümmungstensor 

Im Gegensatz zur Richtungsableitung in R n , die der kovarianten Ableitung von der 

euklidischen Metrik entspricht, vertauschen die höheren Ableitungen eines affinen Zusammenhanges 

nicht. Wir können aber einen Tensor angeben, der den Defekt misst, 

also genau dann verschwindet, wenn die höheren Ableitungen vertauschen. Dieser Tensor 

heißt Krümmungstensor. 

Lemma 2.1. Seien X, Y, Z Vektorfelder auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit 

mit affinem Zusammenhang ∇. Dann hängen die beiden Tensoren 

(i) R(X, Y )Z = ∇ 2 X,Y Z − ∇2 Y,X Z = ∇X∇Y Z − ∇[X,Y ]Z 

(ii) T (X, Y ) = ∇XY − ∇Y X − [X, Y ] 

nur von den Werten der Vektorfelder X, Y,(und Z) an der jeweiligen Stelle ab. 

Beweis: 

(i) Wegen der Eigenschaft (i) eines affinen Zusammenhang hängt R(X, Y )Z nur von 

den Werten der Vektorfelder X und Y am jeweiligen Punkt ab. Also genügt es 

die Aussage für das Vektorfeld Z zu zeigen. Offenbar genügt es zu zeigen, dass 

für alle glatten Funktionen f gilt: 

R(X, Y )fZ = fR(X, Y )Z. 

23

24 KAPITEL 2. DIE KRÜMMUNG 

Dazu berechnen wir mit der Derivationseigenschaft: 

∇X∇Y fZ − ∇Y ∇XfZ − ∇[X,Y ]fZ = 

= ∇X(〈df, Y 〉Z + f∇Y Z) − ∇Y (〈df, X〉Z + f∇XZ) 

− 〈df, [X, Y ]〉Z − f∇[X,Y ]Z = 

= 〈d〈df, Y 〉, X〉Z + 〈df, Y 〉∇XZ + 〈df, X〉∇Y Z + f∇X∇Y Z 

− 〈d〈df, X〉, Y 〉Z − 〈df, X〉∇Y Z − 〈df, Y 〉∇XZ − f∇Y ∇XZ 

− 〈df, [X, Y ]〉Z − f∇[X,Y ]Z = 

= f∇X∇Y Z − f∇Y ∇XZ − f∇[X,Y ]Z. 

Hier haben wir 〈d〈df, Y 〉X〉−〈d〈df, X〉, Y 〉 = 〈df, [X, Y ]〉 benutzt (eine Definition 

von [X, Y ]). Also gilt tatsächlich R(X, Y )fZ = fR(X, Y )Z. 

(ii) T (X, Y ) ist offenbar antisymmetrisch in X und Y . Deshalb genügt es T (fX, Y ) = 

fT (X, Y ) zu zeigen. 

T (fX, Y ) = ∇fXY − ∇Y fX − [fX, Y ] 

= f∇XY − 〈df, Y 〉X − f∇Y X + 〈df, Y 〉X − f[X, Y ] 

= fT (X, Y ). 

Hierhaben wir wieder [fX, Y ] = −〈df, Y 〉X + f[X, Y ] benutzt. q.e.d. 

Satz 2.2. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann ist der Riemannsche 

Krümmungstensor definiert als folgender Schnitt von T 4 M. 

Er hat folgende Eigenschaften: 

R(X, Y, Z, W ) = g(R(X, Y )Z, W ) : 

(i) R ist antisymmetrisch in den ersten beiden und den letzten beiden Einträgen: 

R(X, Y, Z, W ) = −R(Y, X, Z, W ) = −R(X, Y, W, Z) = R(Y, X, W, Z). 

(ii) R ist symmetrisch unter Vertauschen des ersten Paares mit dem letzten Paar: 

R(X, Y, Z, W ) = R(Z, W, X, Y ). 

(iii) R verhält sich unter zyklischem Vertauschen der ersten drei Einträge folgendermaßen 

(erste Bianchiidentität): 

R(X, Y )Z + R(Z, X)Y + R(Y, Z)X = 0.

2.1. DER KRÜMMUNGSTENSOR 25 

(iv) Die kovariante Ableitung von R verhält sich unter zyklischem Vertauschen folgendermaßen 

(zweite Bianchiidentität): 

(∇ZR)(X, Y )W + (∇XR)(Y, Z)W + (∇Y R)(Z, X)W = 0. 

Beweis: (i)] Die erste Eigenschaft folgt aus 

R(X, Y )Z = ∇X∇Y Z − ∇Y ∇XZ − ∇[X,Y ]Z. 

Um die zweite Eigenschaft zu zeigen berechnen wir 

g(R(X, Y )Z, Z) = g(∇X∇Y Z, Z) − g(∇Y ∇XZ, Z) − g(∇[X,Y ]Z, Z) 

DXg(∇Y Z, Z) − g(∇Y Z, ∇XZ) 

−DY g(∇XZ, Z) + g(∇XZ, ∇Y Z) − 1 

2 D[X,Y ]g(Z, Z) 

= 1 

2 DXDY (Z, Z) − 1 

2 DY DXg(Z, Z) − 1 

2 D[X,Y ]g(Z, Z). 

Weil [X, Y ] dadurch definiert ist, dass D[X,Y ] = DXDY −DY DX gilt, folgt g(R(X, Y )Z, Z) = 

0. Dann folgt 

0 = g(R(X, Y )Z + W, Z + W ) − g(R(X, Y )Z − W, Z − W ) 

= 2g(R(X, Y )Z, W ) + 2g(R(X, Y )W, Z). 

(iii) Im Folgenden bezeichnen wir mit S die Summe über die zyklischen Permutationen 

in 3 Vektorfeldern 

ST (X, Y, Z) = T (X, Y, Z) + T (Z, X, Y ) + T (Y, Z, X). 

Dann gilt wegen der Torsionfreiheit: 

SR(X, Y )Z = S∇X∇Y Z − S∇Y ∇XZ − S∇[X,Y ]Z 

= S∇Z∇XY − S∇Z∇Y X − ∇[X,Y ]Z 

= S∇Z(∇XY − ∇Y X) − S∇[X,Y ]Z 

= S∇Z[X, Y ] − S∇[X,Y ]Z 

= S[Z[X, Y ]] = 0. 

Die letzte Gleichung ist die Jacobiidentität des Kommutators von Vektorfeldern.


(ii) ist eine kombinatorische Folgerung aus (i) und (iii). 

R(X, Y, Z, W ) = −R(z, X, Y, W ) − R(Y, Z, X, W ) 

= R(Z, X, W, Y ) + R(Y, Z, W, X) 

= R(W, Z, X, Y ) − R(X, W, Z, Y ) − R(W, Y, Z, X) − R(Z, W, Y, X) 

= 2R(Z, W, X, Y ) + R(X, W, Y, Z) + R(W, Y, X, Z) 

= 2R(Z, W, X, Y ) − R(X, Y, Z, W ) 

Daraus folgt sofort R(X, Y, Z, W ) = R(Z, W, X, Y ). 

(iv) Aus den Ableitungsregeln für Tensoren folgt: (∇ZR)(X, Y )W = 

= ∇Z(R(X, Y )W ) − R(∇Z, X, Y )W − R(X, ∇ZY )W − R(X, Y )∇ZW 

= [∇Z, R(X, Y )]W − R(∇ZX, Y )W − R(X, ∇ZY )W. 

Jetzt benutzen wir wieder die Summe S über die zyklischen Permutationen von X, Y, Z 

und erhalten: 

S(∇XR)(Y, Z)W = S[∇X, R(Y, Z)]W − SR(∇XY, Z)W − SR(Y, ∇XZ)W 

= S[∇X, [∇Y , ∇Z]]W − S[∇X, ∇[Y,Z]]W − 

− SR(∇XY, Z)W − SR(Y, ∇XZ)W 

= −S[∇X, ∇[Y,Z]]WSR(∇XY, Z)W + SR(∇Y X, Z)W 

= −S[∇X, ∇[Y,Z]]W − SR([X, Y ], Z)W 

= −S[∇X, ∇[Y,Z]]w − S[∇[X,Y ], ∇Z]W + S∇[[X,Y ],Z]W 

= S[∇[X,Y ], ∇Z]W − S[∇[X,Y ], ∇Z]W = 0. 

Dabei haben wir mehrmals die Jacobiidentität des Kommutators von Vektorfeldern 

benutzt und die Torsionsfreiheit des Zusammenhanges. q.e.d. 

Wir bemerken, dass (i) eine Folge davon ist, dass der Zusammenhang metrisch ist 

und (iii) eine Folge von der Torsionsfreiheit. Allgemeiner können wir für jeden Tensor 

S ∈ Γ(T q p M) den entsprechenden Krümmungstensor 

R(X, Y )S = ∇ 2 X,Y S − ∇ 2 Y,XS 

definierten. Die gleiche Rechnung wie für das Vektorfeld Z zeigt dann, dass auch R(·, ·)S 

nur von den Werten von X, Y und S an den jeweiligen Stellen abhängt. 

Aufbauend auf diesem Krümmungstensor können wir verschiedene andere Krümmungstensoren 

definieren. Wir werden durch Verjüngungen aus diesem Krümmungstensor 

die Riccikrümmung und die skalare Krümmung herleiten. Aber zunächst wollen wir

2.2. SCHNITTKRÜMMUNG 27 

die Eigenschaftn (i)-(iii) aus dem vorangehenden Satz dazu benutzen, den Krümmungsoperator 

zu definieren. 

Sei 2 M das antisymmetrische Tensorprodukt des Tangentialbündels von M mit 

sich selber. Wenn g eine Riemannsche Metrik auf M ist, dann definiert 

g(X ∧ Y, V ∧ W ) = g(X, V )g(Y, W ) − g(X.W )g(Y, V ) 

 

g(X, V ) g(X, W ) 

= det 

g(Y, V ) g(Y, W ) 

ein positiv definites Skalrprodukt auf den Fasern von 2 M. Wenn nämlich e1, . . . , en eine 

Orthonormalbasis von TpM ist, dann ist (ei∧ej)i


(2) R(v, v2)v3 = k(v, 1v2)v3 für alle v1, v2, v3 ∈ TpM. 

(3) Rv(w) = k · (w − g(w, v)v ∗ ) = kprv, (w) für alle w ∈ TpM, |v| = 1. 

(4) R(w) = kw für alle w ∈ 1 2 M. 

Beweis: (1) ⇒ (2): Sei 

T (v1, v2, v3, v4) = g(R(v1, v2)v3, v4) − kg((v1 ∧ v2)v3, v4) 

= g(R(v1, v2)v3, v4) − kg(g(v2, v3)v1 − g(v1, v3)v2, v4) 

= R(v1, v2, v3, v4) − kg(v2, v3)g(v1, v4) + kg(v1, v3)g(v2, v4) 

Dann erfüllt T die gleichen Symmetrieeigenschaften (i), (ii), (iii) wie R(X, Y, Z, W ), 

d.h. 

(i) T (v1, v2, v3, v4) = −T (v2, v1, v3, v4) etc. 

(ii) T (v1, v2, v3, v4) = T (v3, v4, v1, v2) 

(iii) 1.Bianchiidentität in v1, v2, v3: 

T (v1, v2, v3, v4) +T (v3, v1, v2, v4) + T (v2, v3, v1, v4) 

−k(g(v2, v3)g(v1, v4) + g(v1, v2)g(v3, v4) + g(v1, v2)g(v3, v4)) 

+k(g(v1, v3)g(v2, v4) + g(v2, v1)g(v3, v4) + g(v3, v2)g(v1, v4) 

= 0 

Ist nun sec = k, so so wollen wir zeigen, dass dann 

gilt. 

und wegen 

folgt 

R(v1, v2)v3 = k(v1 ∧ v2)v3 = k(g(v2, v3)v1 − g(v1, v3)v2) 

T (w, v, w) = g(R(w, v)v, w) − k(g(v, v)g(w, w) − g(v, w) 2 ) 

sec(v, w) = 

Zerlege v = v1 + v2, dann folgt 

g(R(w, v)v, w) 

= k 

g(v, v)g(w, w) − g(v, w) 2 

T (w, v, v, w) = 0 für alle v, w ∈ TpM. 

0 = T (w, v1 + v2, v1 + v2, w) 

= T (w, v1, v2, w) + T (w, v2, v1, w) 

= 2T (w, v1, v2, w) 

= −2T (w, v1, w, v2)

2.2. SCHNITTKRÜMMUNG 29 

Also T (w, v1, v2, w) = −T (w, v1, w, v2). Zerlegt man nun w = w1 + w2, so erhält man 

T (w1 + w2, v1, v2, w1 + w2) = T (1, v1v2, w2) + T (w2, v1, v2, w1) = 0 

⇒ T (w1, v1, v2, w2) = −T (w2, v1, v2, w) 

also ist T alternierend in allen vier Einträgen, und mit der ersten Bianchiidentität. 

folgt T = 0, und somit (2). 

dann folgt 

T (v1, v2, v3, v4) + T (v3, v1, v2, v4) + T (v2, v3, v1, v4) = 0 

(2) ⇒ (3)R(v1, v2)v3 = k(g(v2, v3)v1 − g(v1, v3)v2) für alle vj ∈ TpM 

Rv 

= R(w, v)v = k(g(v, v)w − g(w, v)v) 

= k(w − g(w, v)v) für |v| = 1. 

(3) ⇒ (1) : Rv(w) = k(w − g(w, v)v), |v| = 1 

g(Rv(w), w) kg(w, w) − kg(v, w)2 

⇒ sec(v, w) = 

= = k. 

g(v, v)g(w, w) − g(v, w) 2 g(w, w) − g(v, w) 2 

(2) ⇒ (4): Wähle eine orthonormale Basis {ei} von TpM. Dann ist ei ∧ ej, i ⊂ j eine 

Basis von ∧ 2 pM, und mit (2) folgt 

und somit R(ei, ej) = kei ∧ ej. 

g(R(ei ∧ ej), et ∧ es) = R(ei, ej, et, es) 

= g(R(ei, ej)et, es) = kg((ei ∧ ej)et, es) 

= kg(ei, es)g(ej, et) − kg(ei, et)g(ej, es) 

= kg(ei ∧ ej, et ∧ es) 

(4) ⇒ (1): Sind v, w ∈ TpM orthogonale Einheitsvektoren, dann 

k = g(R(v ∧ w), v ∧ w) = sec(v, w). 

q.e.d. 

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) die eine dieser vier Bedingungen für 

jedes p ∈ M und die gleiche Konstante k für alle p ∈ M erfüllt, heißt eine Riemannsche 

Mannigfaltigkeit konstanter Krümmung k.


2.3 Ricci-Krümmung 

Ist e1, . . . , en ∈ TpM eine orthonormale Basis, so definiere die Ricci-Krümmung 

Ric(v, w) = Spur(x ↦→ R(x, v)w) 

n 

= g(R(ei, v)w, ei) 

= 

= 

i=1 

n 

g(R(v, ei)ei, w) 

i=1 

n 

g(R(ei, w)v, ei). 

i=1 

Also ist Ric eine symmetrische Bilinearform. Genauso kann man Ric auch als (1.1)- 

Tensor definieren durch 

n 

Ric(v) = R(v, ei)ei 

i=1 

Definition 2.5. Ist (M, g) mit Ric(v) = kv, oder äquivalent Ric(v, w) = kg(v, w), 

dann heißt (M, g) Einsteinmannigfaltigkeit mit Einsteinkonstante k. 

Ist v ∈ TpM beliebiger Einheitsvektor, und vervollständigen wir ihn zu einer orthonormalen 

Basis {v, e2, . . . , en} von TpM, dann gilt 

n 

Ric(v, v) = g(R(v, v)v, v) + g(R(ei, v)v, ei) 

= 

n 

sec(v, ei) 

i=2 

Im Falle n = 2 kennt man somit R genau dann, wenn man Ric kennt. Dies gilt auch 

wenn n = 3 ist: 

Ist {e1, e2, e3} eine orthonormale Basis von TpM, dann ist 

i=2 

sec(e1, e2) + sec(e1, e3) = Ric(e1, e2) 



oder in Matrixform: 

⎛ 

1 

⎝1 

0 

1 

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

1 sec(e1, e2) Ric(e1, e1) 

0⎠ 

⎝sec(e2, 

e3) ⎠ = ⎝Ric(e2, 

e2) ⎠ 

0 1 1 sec(e1, e3) Ric(e3, e3)

2.4. DIE SKALARE KRÜMMUNG 31 

Weil die Matrix Determinante 2 hat, lassen sich Schnittkrümmungen durch Ric ausrechnen. 

Insbesonders gilt das (M 3 , g) Einstein ist genau dann, wenn (M 3 , g) konstante 

Schnittkrümmung hat. (Übung!) 

2.4 Die skalare Krümmung 

Die Spur von der Riccikrümmung oder auch zweimal der Spur von Krümmungsgenerator 

heißt skalare Krümmung: 

scal = Spur(Ric) = 2 Spur(R. 

Sei e1, . . . , en eine Orthonormalbasis von TpM, dann gilt 

scal = Spur(Ric) 

n 

= Ric(ej, ej) 

= 

= 

j=1 

n 

j=1 

n 

(R(ei, ej)ej, ei) 

i=1 

n 

g(R(ei ∧ ej) 

ijj=1 

= 2 

g(R(ei ∧ ej), ei ∧ ej) 

i


Beweis: Weil für alle Orthonormalbasen e1, . . . , en gilt 

Ric(ei, ei) = 

sec(ei, ej) 

folgt aus (i) auch (ii). Deshalb genügt es zu zeigen, dass aus (ii) die Behauptung folgt. 

Dazu benutzen wir folgende Identität, die wir im folgenden Lemma beweisen: 

j=i 

d scal = 2 div(Ric) 

Wir zeigen zunächst, wie daraus die Beheuaptung folgt: 

Offenbar folgt aus (ii) 

d scal = d Spur(Ric) 

= d(n · (n − 1)f) 

= n · (n − 1)df 

Andererseits gilt für eine Orthonormalbasis e1, . . . , en: 

2 div(Ric)ei) = 2 

j 

∇ej 

= 2(h − 1) 

Ric(v, ej) 

j 

∇ei (fg(v, ei)) 

= 2(n − 1) 

〈df, e〉g(v, ei) 

= 2(n − 1)〈df, v〉 

Dann folgt aus der Identität d scal = 2 div(Ric) ndf = 2df, was f in n = 2df = 0 

inpliziert. q.e.d. 

Proposition 2.7. 

d Spur(Ric) = 2 div(Ric) 

Beweis: Sei e1, . . . , en eine Orthonormalbasis von TpM und W ein Vektorfeld, dass 

∇W |p = 0 erfüllt. Offenbar gibt es in jedem Punkt eine Basis von solchen Vektorfeldern, 

j

2.4. DIE SKALARE KRÜMMUNG 33 

wie wir gleich sehen werden. Dann gilt: 

 

d Spur(Ric)(W )(p) = DW Ric(ei, ei) 

i 

 

= DW (R(ei, ej)ej, ei) 

i,j 

= 

g((∇W (R(ei, ej)ej), ei) 

i,j 

= 

g((∇W R)ei, ej)ej, ei) 

i,j 

= − 

g((∇ejR)(E, ei)ej, ei) 

i,j 

− 

g((∇eiR)ej, W )ej, ei) 

i,j 

= − 

∇ejR)(W, ei, ej, ei) − 

(∇eiR)(ej, W, ej, ei) 

i,j 

i,j 

= 

∇ejR)(ej, ei, ei)W + 

(∇eiR)(ei, , ej, ejW ) 

= 2 

(∇ejR)(ej, ei, ei, W ) 

i,j 

= 2 

i,j 

= 2 

j 

dej (R(ej, ei, ei, W )) 

Dej Ric(ej, W ) 

= 2 

(∇ej Ric)(ej, W ) = 2 div(Ric)(W ). 

j 

Korollar 2.8. Eine n > 2 dimmensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit ist genau 

dann eine Einstein Mannigfaltigkeit, wenn folgendes gilt: 

Ric = scal 

n g. 

In lokalen Koordinaten seien die Vektorfelder X = α i , ∂i, Y = β i ∂i und Z = γ i ∂i 

gegeben. Dann können wir schreiben: 

R(X, Y ) = α i β j γ k R l ijk ∂l 

R l ijk ∂l = R(∂i, ∂j)∂k 

i,j 

i,j


Setzen wir die Definition von R ein, so erhalten wir: 

Dadurch erhalten wir 

R l ijk ∂l = R(∂i, ∂j)∂k 

= ∇∂i ∇∂j ∂k − ∇∂j − ∂k − ∇∂i ∂k 

= ∇∂i Γs jk∂s − ∇∂j Γt ik∂t 

= ∂i(Γ s jk)∂s + Γ s jk∇∂j ∂s − ∂j(Γ i ik)∂t − Γ i ik∇∂j ∂t 

= ∂iΓ l jk∂l − ∂jΓ l ikΓ l is∂l − Γ i ikΓ l jt∂t 

= (∂iΓ l jk − ∂jΓ l ik + Γ s jk − Γ l is − Γ s ikΓ l js)∂i 

R l ijk∂iΓ l jk − ∂jΓ s ik + Γ s jkΓ l is − Γ s ikΓ l js. 

Wir müssen sehen, dass es immer lokale Koordinaten gibt, so dass an einem Punkt 

gilt 

Γ k ij|p = 0. 

Dann gilt an diesem Punkt 

R l ijk = ∂iΓ l jk + ∂jΓ l ik. 

Wenn wir zwei Tensoren vergleichen wollen genügt es sie auf einer Basis von Vektorfeldern 

zu vergleichen. Wenn wir also schon wissen, dass zwei Ausdrücke sich tensoriell 

verhalten, dann können wir in ein solches Koordinatensytem gehen, und die beiden 

Tensoren in diesen Koordinaten ausrechnen.

Kapitel 3 

Hyperflächen 

3.1 Hyperflächen 

In diesem Abschnitt betrachten wir Untermannigfaltigkeiten von Riemannschen Mannigfaltigkeiten 

der Kodimensionen Eins. Die Untersuchung von Flächen im dreidimensionalen 

euklidischen Raum stand am Anfang der Riemannschen Geometrie. Erst danach 

hat sich die entwicklung der intrimischen Differentialgeometrie herausgebildet. 

Wir unterscheiden zwischen intrimischen Betrachtungen, die nicht von der Einbettung 

in die höherdimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit abhängen und extrimischen 

Betrachtungen, die davon abhängen. 

Sei also f : M → N eine Immersion von der differenzierbaren Mannigfaltigkeit M 

in die Riemannsche Mannigfaltigkeit N. Dann induziert die Abbildung 

T f : T M → T N 

eine Metrik auf T M, so dass die Immersion f die Riemannsche Immersion wird. Das 

Tangentialbündel T N zerfällt in allen Punkten im Bild von f in eine direkte Summe 

f x T N = T M ⊕ T M ⊥ 

hierbei bezeichnet T M ⊥ das orthogonale. Weil diese Zerlegung nun in allen Punkten 

im Bild von f gilt, betrachten wir das zurückgezogene Bündel f ∗ T N auf M. Wenn 

M und N beide orientiert sind, dann gibt es in dem Linienbündel T M ⊥ auf M genau 

einen globalen Schnitt, der überall die Länge Eins hat und die Orientierung von M 

in eine von N überführt. Diesen Schnitt haben wir Normal genannt. Im Fall, dass N 

der euklidische Raum R n+1 ist, können wir T R n+1 mit R n+1 × R n+1 identifizieren. Also 

induziert die Normale dann eine Abbildung von M nach S n . Sie heißt Gaußabbildung. 

35

36 KAPITEL 3. HYPERFLÄCHEN 

Da alle folgenden Ergebnisse lokal sind, wird es unsere Natationen vereinfachen, 

wenn wir annehmen, dass M ⊂ N eine untermannigfaltigkeit ist. Dann ist 

T N = T M ⊕ T M ⊥ 

und für ein Vektorfeld X auf N haben wir die entsprechende Zerlegung 

X = X ⊤ + X ⊥ . 

Weil Schnitte von T M zu Schnitten von T N fortgesetzt werden können, folgt 

∇ M X Y = (∇ N XY ) ⊤ 

Merke, dass für jedes Vektorfeld Y auf M gilt: 

(∗) 

(∇ N XfY ) ⊥ = (XfY + f∇ N XY ) ⊥ = f(∇ N XY ) ⊥ 

Also ist s : T M × T M → T M ⊥ definiert durch 

wohldefiniert. 

S(X, Y ) = (∇ N XY ) ⊥ 

Proposition 3.1. Der Tensor S ist symmetrisch. 

Beweis: Sind X, Y tangentiale Vektorfelder, d.h. X, Y : M → T M dann auch [X, Y ]. 

Nun gilt mit der Torsionsfreiheit 

(∇ N XY ) ⊥ − (∇ N Y X) ⊥ = ((∇ N XY − ∇ N Y X) ⊥ = [X, Y ] ⊥ = 0, 

also S(X, Y ) = S(Y ; X). q.e.d. 

Kombinieren wir dies mit der obigen Gleichung (∗), so erhalten wir die Gauß’sche 

Formel: 

∇ N XY ) = ∇ M X Y + S(X, Y ) 

für tangentiale Vektorfelder X, Y . 

Satz 3.2. (Theorema Egregium(Gauß)) Sei M ⊂ (N, h) Untermannigfaltigkeit mit 

Krümmungen R M und R N . Dann gilt für alle Vektorfelder X, Y, Z, W auf M: 

h(R n (X, Y )Z, W ) = h(R M (X, Y )Z, W ) + h(S(X, Z), S(Y, W )) − h(S(Y, Z), S(X, W ))

3.1. HYPERFLÄCHEN 37 

Beweis: Die Gauß’sche Formel liefert 

Genauso erhält man 

∇ N X(∇ N Y Z) = ∇ N X((∇ N Y Z) ⊤ + (∇ N Y Z) ⊥ ) 

= ∇ N X∇ M Y Z + ∇ N XS(Y, Z) 

= ∇ M X ∇ M Y Z + S(X, ∇ M Y Z) + ∇ N XS(Y, Z) 

(1) ∇N Y (∇NX Z) = ∇MY ∇MX Z + S(Y, ∇MX Z) + ∇NY S(X, Z) 

(2) ∇N [X,Y ] Z = ∇M [X,Y ] Z + S([X, Y ], Z) 

(4) 

Substituiere die Gleichungen (1), (1’) und (2) in die Formel RN (X, Y )Z = ∇N X∇NY Z− 

∇N Y ∇NX Z − ∇N [X,Y ] Z und erhalte 

Dann ist 

R N (X, Y, Z) = ∇ M X ∇ M Y Z + S(X, ∇ M Y Z) + ∇ N XS(Y, Z) 

= ∇ M Y ∇ M X Z − S(Y, ∇ M X Z) − ∇ N Y S(X, Z) 

= ∇ M [X,Y ]Z − S([X, Y ], Z) 

R N (X, Y, Z, W ) = R M (X, Y, Z, W )+h(∇ N XS(Y, Z)−∇ N Y S(X, Z), W ). (3) 

leiten wir H(S(Y, Z)W ) = 0 in Richtung X ab, so erhalten wir 

0 = Xh(S(Y, Z), W ) = h(∇ N XS(Y, Z), W ) + h(S(Y, Z), ∇ N XW ) 

= h(∇ N XS(Y, Z), W ) + h(S(Y, Z), ∇ M X W + S(X, W )) 

= h(∇ N XS(Y, Z), W ) + h(S(Y, Z), S(X, W )) 

mit der Gauß’schen Formel, und da ∇M X W ⊥ S(Y, Z). 

Die Behauptung folgt nun indem wir (4) und die analoge Gleichung mit X und Y 

vertauscht in (3) substituieren. q.e.d. 

Im Folgenden sei nun M eine Untermannigfaltigkeit von N mit Kodimension Eins, 

und G : M → Sn die Gaußabbildung. Sind X, Y Vektorfelder auf M, dann folgt aus 

h(G, G) = 1 durch Ableiten 

Xh(G, G) = 2h(∇ N XG, G) = 0 

⇒ ∇ N XG ⊥ G


und weil T M ⊥ eindimensional ist, folgt 

∇ N XG ∈ T M. 

Aus h(Y, G) = 0 folgen durch Ableiten die Weingartengleichungen 

h(∇ N XY, G) = −h(Y, ∇ N XG) = −h(G, S(X, Y ). 

Die letzte Gleichung ist eine Konsequenz der Gauß’schen Gleichung und der Tatsache 

h(G, ∇M X Y )0 =. Wegen der Symmetrie von S folgt daher 

h(∇ N XG, Y ) = h(X, ∇ N Y G) 

Die zweite Fundamentalform ist definiert durch 

II(X, Y ) = −h(∇ N XG, Y ) 

für zwei Vektorfelder X, Y auf M. 

Aus den Weingartengleichungen folgt II(X, Y ) = h(G, S(X, Y )) und somit 

S(X, Y ) = II(X, Y )G. 

Satz 3.3. (Codazzi-Mainardi-Gleichungen) Sei M ⊂ N eine Hyperfläche mit Gaußabbildung 

G. Dann gilt für alle Vektorfelder X, Y, Z, W auf M: 

Beweis: 

R N (X, Y, Z, G) = (∇ M X II)(Y, Z) − (∇ M Y II)(X, Z) 

(1’) ∇N Y ∇NX Z = ∇MY ∇M X Z + S(Y, ∇MX Z) + ∇NY S(X, Z) 

(1) ∇N X∇NY Z = ∇MX ∇M Y Z + S(X, ∇MY Z) + ∇NX S(Y, Z) 

(2) ∇ N [X,Y ] Z = ∇M [X,Y ] Z + S([X, Y ], Z) = ∇M [X,Y ] Z + S(∇XY, Z) − S(∇Y X, Z) 

Also ist der normale Anteil von RN (X, Y )Z = ∇N X∇NY Z − ∇NY ∇NX Z − ∇N [X,Y ] Z. gegeben 

durch 

(3) ∇ N X S(Y, Z) ⊥+ S(X, ∇ M Y Z) − ∇N Y Z) − ∇N Y S(X, S)⊥ − S(Y, ∇ M X Z) + S(∇Y X, Z) − 

S(∇XY, Z)


Aus S(Y, Z) = II(Y, Z)G folgt 

und somit 

Alles zusammen ergibt sich damit 

∇ N XS(Y, Z) = XII(Y, Z)G + II(Y, Z)∇ N XG 

h(∇ N XS(Y, Z), G) = XII(Y, Z) (4) 

R N (X, Y, Z, G) = h(R N (X, Y )Z, G) 

= XII(Y, Z) − II(∇ M X Y, Z) − II(Y, ∇ M X Z) 

− (Y II(X, Z) − II(∇ M Y , Z) − II(X, ∇ M Y Z)) 

Die erste Zeile ist (∇ M X II)(Y, Z), die zweite Zeile ist (∇M Y 

II)(X, Z), woraus die Behauptung 

folgt. q.e.d. 

Korollar 3.4. Hat N konstante Krümmung k, dann ist die Gaußgleichung im Theorema 

Egregium: 

R(X, Y, Z, W ) + h(S(X, Z), S(Y, W )) − h(S(X, W ), S(Y, Z)) 

= k(h(X, W )h(Y, Z) − h(X, Z)h(Y, W )) 

und ist M Hyperfläche, so sind die Codozzi-Mainardi-Gleichungen 

(∇XII)(Y, Z) = (∇Y II)(X, Z) 

Beweis: Letztere Gleichung folgt, weil R N (X, Y )Z = k(h(Y, Z)X − h(X, Z)Y ) tangential. 

q.e.d. 

Satz 3.5. (Hadomard) Sei F : M → R n+1 eine Immersion von einer n-dimensionalen 

kompakten Mannigfaltigkeit in dem (n + 1)- dimensionalen euklidischen Raum. Wenn 

die zweite Fundamentalform überall nicht entartet ist, dann ist für n > 1 M eine 

Spähre und F ist eine Einbettung. 

Beweis: Sei G : M → S n die entsprechende Gaußabbildung. Wenn die zweite Fundamentalform 

überall nicht entartet ist, dann ist G auch eine Immersion von einer 

n-dimensionalen Mannigfaltigkeit nach ∼ n . Insbesondere ist G in einer Umgebung jedes 

Punktes ein Diffeomorphismus. Also ist G eine Überlagerungsabbildung. Für n > 1 

ist S n einfach zusammenhängend. Deshalb ist dann G ein Diffeomorphismus. 

Sei jetzt x0 ∈ M. Wir betrachten die reelle Funktion f(x) =< F (x)−F (x0), G(x0) >. 

Die Ableitung df von f verschwindet offenbar genau dann, wenn die Tangentialebene 

aus M im Punkt x auf G(x0) senkrecht steht, also genau dann, wenn G(x) = ±G(x0).


Also besitzt die Funktion von f genau ein Maximum und ein Minimum, weil sie beschränkt 

ist. Also ist f entweder nicht negativ oder nicht positiv. Deshalb ist F auch 

injektiv, weil f nur bei x = x0 gleich Null ist. q.e.d. 

Bei diesem Satz haben wir vor allem benutzt, dass aus der Nichtentartetheit der 

zweiten Fundamentalform folgt, dass die Gaußabbildung ein Diffeomorphismus ist. Allgemeiner 

gilt: 

Lemma 3.6. Sei F : M → R n+1 eine Immersion einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit 

nach R n+1 . Wenn n gerade ist, dann ist die Determinante der Weingartenabbildung 

intrimisch. Wenn n ungerade ist, dann ist der Betrag der Determinante der 

Weingartenabbildung intrimisch. 

Beweis: Sei e1, . . . , en eine Eigenbasis von der Weingartenabbildung, d.h. es gilt 

S(ei, ej) = δijλi 

wobei λ die Hauptkrümmungen sind. Dann wird der Krümmungsoperator R durch 

ei ∧ej diagonalisiert mit Eigenwerten λiλj. Das folgt aus dem Theorem Egregium. Also 

ist 

det R = 

λiλj = (λi . . . λn) n−1 . 

i


Weil beide Seiten intrimische Größen sind, kann man erwarten, dass diese Gleichung 

für beliebige Riemannsche Mannigfaltgkeiten gilt. Das gilt aber nur für n = 2 und heißt 

dann der Satz von Gauß-Bonnet: 

X(M) = 1 

2 

 

M 

sec d vol . 

Es gibt aber eine Verallgemeinerung in höheren Dimensionen, dann ist der Integrand 

aber komplizierter.

42 KAPITEL 3. HYPERFLÄCHEN

Kapitel 4 

Riemannsche Mannigfaltigkeiten als 

metrische Räume 

4.1 Zweite Ableitungen 

In diesem Kapitel untersuchen wir Riemannsche Mannigfaltigkeiten als metrische Räume, 

d.h. wir definieren den Abstand zwischen zwei Punkten als die Länge des kürzesten 

Weges, der beide Punkte miteinander verbindet und betrachten sie dann als metrische 

Räume. Solche Wege kürzester Länge heißen Kürzeste. Als Vorbereitung um solche 

Kürzesten zu untersuchen, zeigen wir in diesem Abschnitt, dass wir für Abbildungen γ 

von offenen Gebieten Ω ⊂ R n in eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) die zweiten 

Ableitungen auch als Element von T M auffassen können. Wenn wir eine glatte Abbildung 

f : N → M zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten haben, dann ist die 

zweite Ableitung T T f eine Abbildung 

T T f : T T N → T T M. 

Also liegen die zweiten Ableitungen erstmal im Tangentialraum des Tangentialraumes 

von M, also in T T M. Auf den R n können wir aber den Tangentialraum über allen 

Punkten mit dem R n identifizieren, so dass auch die zweiten Ableitungen wieder in R n 

liegen. Wir wollen jetzt zeigen, dass das auch für Riemannsche Mannigfaltigkeiten auf 

eine Art und Weise möglich ist, die nur von der Riemannsche Metrik und nicht von 

den Karten abhängt. Dazu parametrisieren wir Ω durch Koordinaten t 1 , . . . , t m und 

fordern folgende beiden Bedingungen: 

(i) 

∂2γ ∂ti∂tj = ∂2γ ∂tj∂t i 

43

44 KAPITEL 4. MANNIGFALTIGKEITEN ALS METRISCHE RÄUME 

(ii) 

 

∂ ∂γ ∂γ 

g , 

∂tk ∂ti ∂tj 2 ∂ γ 

= g 

∂tk ∂γ 

, 

∂ti ∂tj 

∂γ 

+ g 

∂ti , ∂2γ ∂tk∂t j 

 

Die erste Bedingung ergibt sich einfach aus dem Schwarzen lemma, das besagt, dass 

die zweiten partiellen Ableitungen nicht von der Reihenfolge abhängen. Die zweite 

Bedingung ist eine Form der Leibnizregel und an die Bedingung, dass ein affiner Zusammenhang 

ist metrisch angelehnt. Wir wollen jetzt zeigen, dass für Abbildungen 

γ : Ω → M immer möglich ist die zweiten Ableitungen auf eindeutige Weise so zu 

definieren, dass (i) und (ii) erfüllt sind. Dazu behaupten wir, dass aus (i) und (ii) eine 

Koszul-artige Formel folgt: 

2g 

2 ∂ γ 

∂ti ∂γ 

, 

∂tj ∂tk 

= ∂ 

g 

∂ti 

∂γ ∂γ 

, 

∂tj ∂tk 

+ ∂ 

 

∂γ ∂γ 

g , 

∂tj ∂tk ∂ti 

− ∂ 

 

∂γ ∂γ 

g , 

∂tk ∂ti ∂tj 

Lemma 4.1. Es gibt für eine Abbildung γ : Ω → M von einer offenen Teilmenge Ω 

den R m in eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) folgt aus (i) und (ii) die obige 

Koszulartige Formel. 

Beweis: Wir zeigen zunächst, dass die Koszul-artige Formel aus (i) und (ii) folgt: 

 

∂ ∂γ ∂γ 

g , 

∂ti ∂tj ∂tk 

+ ∂ 

 

∂γ ∂γ 

g , 

∂tj ∂tk ∂ti 

− ∂ 

 

∂γ ∂γ 

g , 

∂tk ∂ti ∂tj 

2 ∂ γ 

= g 

∂ti ∂γ 

, 

∂tj ∂tk 

∂γ 

+ g 

∂tj , ∂2γ ∂ti∂tj 

2 ∂ γ 

+ g 

∂tj ∂γ 

, 

∂tk ∂ti 

∂γ 

+ g 

∂tk , ∂2γ ∂tj∂t i 

 

2 ∂ γ 

− g 

∂tk ∂γ 

, 

∂ti ∂tj 

∂γ 

− g 

∂ti , ∂2γ ∂tk∂t j 

 

2 ∂ γ 

= g 

∂ti ∂γ 

, 

∂tj ∂tk 

∂γ 

+ g 

∂tk , ∂2γ ∂tj∂t i 

 

 

∂γ 

+ g 

∂tj , ∂2γ ∂ti∂tk 2 ∂ γ 

− g 

∂tk ∂γ 

, 

∂ti ∂tj 

2 ∂ γ 

+ g 

∂tj ∂γ 

, 

∂tk ∂ti 

∂γ 

− g 

∂ti , ∂2γ ∂tk∂t j 

 

2 ∂ γ 

= 2g 

∂ti ∂γ 

, 

∂tj ∂tk 

q.e.d.

4.1. ZWEITE ABLEITUNGEN 45 

Weil die zweiten Ableitungen offenbar nur von den Werten von γ auf einer Umgebung 

von dem entsprechenden Punkt in Ω abhängen, können wir annehmen, dass γ die 

offene Teilmenge Ω in den Definitionsbereichen U einer Karte abbildet. 

Satz 4.2. (Existenz der zweiten Ableitungen) In einem Koordinatensystem ist es möglich 

die zweiten Ableitungen so zu definieren, dass (i) und (ii) erfüllt sind. 

Beweis: Wir bezeichnen mit γ 1 , . . . , γ n die Koordinaten der Abbildung γ. Wir betrachten 

zunächst nur zwei Parameter s und t von Ω, dann gilt 

Also folgt 

∂ ∂γ 

∂t ∂s 

∂γ 

∂s 

= ∂γi 

∂s ∂i 

i ∂ ∂γ 

= 

∂t ∂s ∂i 

 

= ∂ ∂γ 

∂t 

i 

∂s ∂i + ∂γi ∂ 

∂s ∂t (∂i). 

Um ∂ 

∂t (∂i) zu definieren, setzen wir für jedes Vektorfeld X auf M 

Dann erhalten wir 

Also definieren wir 

∂X 

∂t 

∂ ∂γ 

∂t ∂s = ∂2γ k 

= ∇γX. 

∇ ∂γ ∂i 

∂t 

∂t∂s ∂k + ∂γi 

∂s 

= ∂2γ k 

∂t∂s ∂k + ∂γi ∂γ 

∂s 

j 

∂t 

= ∂2γ k 

∂t∂s ∂k + ∂γi 

∂s 

∂2γ ∂t∂s = ∂2γ k 

∂t∂s ∂k + ∂γi∂γ j 

= 

∇∂j ∂i 

∂γ j 

∂t Γk ji∂k. 

∂s∂t Γkji∂k 2 k ∂ γ 

∂t∂s + ∂γi∂γ j 

∂s∂t Γji 

 

∂k 

Wegen dem Schwarzschen lemma und weil die Christoffelsymbole symmetrisch in i und 

j sind, gilt tatsächlich (i). Um (ii) zu beweisen, benutzen wir die metrische Eigenschaft 

der Christoffelsymbole: 

∂kgij = Γki,j + Γkj,i.


Damit erhalten wir 

∂ 

∂t g 

 

∂γ ∂γ 

, = 

∂s ∂u 

∂ 

 

gij 

∂t 

∂γi 

∂s 

∂γj 

∂u 

= ∂gij ∂γ 

∂t 

i ∂γ 

∂s 

j 

∂u + gij ∂2γ i ∂γ 

∂t∂s 

j ∂γi ∂ 

+ gij 

∂u ∂s 

2γj ∂t∂u 

2 i ∂ γ ∂γk ∂γ 

= gij + 

∂t∂s ∂s 

l 

∂t Γi 

j ∂γ ∂γi ∂ 

kl + gij 

∂u ∂s 

2γj ∂t∂u 

+ ∂gij ∂γ 

∂t 

i ∂γ 

∂s 

j ∂γk ∂γ 

− gij 

∂u ∂s 

l ∂γ 

∂t 

j 

2 ∂ γ ∂γ ∂γ 

= g , + g 

∂t∂s ∂u ∂s , ∂2 

γ 

∂t∂u 

+ ∂gij ∂γ 

∂t 

i ∂γ 

∂s 

j ∂γk ∂γ 

− 

∂u ∂s 

l ∂γ 

∂t 

j 

∂u Γkl,j − ∂γi 

∂s 

2 ∂ γ ∂γ ∂γ 

= g , + g 

∂t∂s ∂u ∂s , ∂2 

γ 

∂t∂u 

∂u Γikl − gij ∂γi 

∂s 

∂kgij ∂γk ∂γ 

∂t 

i ∂γ 

∂s 

j ∂γi ∂γ 

− 

∂u ∂s 

k ∂γ 

∂t 

j 

∂u Γki,j − ∂γi 

∂s 

2 ∂ γ ∂γ ∂γ 

= g , + g 

∂t∂s ∂u ∂s , ∂2 

γ 

∂t∂u 

∂γ k 

∂u 

∂γ j 

∂u 

∂γ k 

∂u 

∂γ l 

∂t Γkl,i 

∂γk ∂γk 

+ + 

∂t∂u ∂u 

∂γ l 

∂t Γj 

kl 

∂γ k 

∂t Γkj,i 

∂γl 

j 

Γ kl 

Wenn M ⊂ N eine Riemannsche Untermannigfaltigkeit einer Riemannschen Mannigfaltigkeit 

N ist, ist es oft nützlich erst die zweiten Ableitungen in N zu berechnen und 

sie dann auf M zu projezieren. 

Proposition 4.3. Sei (M, g) eine Riemannsche Untermannigfaltigkeit der Riemannschen 

Mannigfaltigkeit (N, g), und γ : Ω → M ↩→ N eine glatte Abbildung. Dann 

gilt 

2 ∂ γ 

projM ∈ T M 

∂t i ∂t j 

sind die zweiten Ableitungen von γ als Abbildung von Ω nach M. 

Beweis: Folgt sofort aus der Koszul-artigen Formel. q.e.d.

4.2. GEODÄTEN 47 

4.2 Geodäten 

Wir definieren die Beschleunigung einer Kurve γ : I → M als ¨γ = d2 γ 

dt 2 oder in lokalen 

Koordinaten 

¨γ = d2γk dt2 ∂k + dγi dγ 

dt 

j 

dt Γkij∂k = 0 

Definition 4.4. Eine Kurve γ : I → M von einerm offenen Intervall nach M heißt 

Geodäte, wenn ¨γ = 0. Dann gilt auch 

Also ist die Geschwindigkeit konstant. 

d 

g( ˙γ, ˙γ) = 2g(¨γ, ˙g) = 0. 

dt 

In diesem Abschnitt werden wir die lokale Existenz und Eindeutigkeit von Geodäten 

beweisen. Die Geodätengleichung ¨γ = 0 können wir umschreiben zu 

d2γk dγ 

= −dγi 

dt2 dt 

j 

dt Γkij für k = 1, . . . , n = dimM. 

Das ist ein gewöhnliches Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung. Aus dem Satz 

von Picard-Lindelöff folgt Satz (Lokale Existenz und Eindeutigkeit von Geodäten). Sei 

(M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann gibt es für jedes p ∈ M und v ∈ TpM 

eine Umgebung V ⊂ T M von v und ein ɛ > 0, so dass es für alle w ∈ V genau eine 

Lösung der Differentialgleichung d2γ dt2 = 0 auf dem Intervall (−ɛ, ɛ) gibt mit γ(0) = π(w) 

und ˙γ(0) = w. q.e.d. 

Wegen der Translationsinvarianz des Ableitung ist die Geodätengleichung translationsinvariant, 

d.h. die Abbildung t ↦→ γ(t) erfüllt genau dann ¨γ = 0, wenn die 

Abbildung t → γ(t + s) mit s ∈ R die Gleichung ¨γ = 0 erfüllt. Deshalb stimmt für 

jede Lösung γ : (−ɛ, ɛ) → M für jedes s ∈ (−ɛ, ɛ) die Abbildung t ↦→ γ(t + s) mit 

der entsprechenden Lösung mit Anfangswerten γ(0 + s) = γ(s) und ˙γ(0 + s) = ˙γ(s) 

überein. Deshalb können wir durch geeignete Translationen verschiedene Lösungen zu 

einer Lösung mit größerem Definitionsbereich zusammenkleben. Insbesondere können 

wir durch Lösungen des Definitionsbereiches unterschiedliche Karten zu einer Lösung 

verkleben. Wegen der Translationsinvarianz und der lokalen Eindeutigkeit gibt es für 

jedes p ∈ M und jedes v ∈ M ein maximales offenes Intervall I und eine Lösung des 

Anfangswertproblems 

γ : I → M, mit γ(0) = p und ˙γ(0) = v 

so dass alle Lösungen durch Einschränkung aus dieser Lösung hervorgehen. Aus der 

Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichung ist bekannt, dass solche maximalen 

Lösungen am Rand nur aus drei Gründen nicht fortgesetzt werden können.


(i) das Intervall ist unbeschränkt am Rand 

(ii) eine Ableitung der gewöhnlichen Differentialgleichung ist am Rand unbeschränkt 

(iii) die Lösung verläßt den Definitionsbereich des Differentialgleichungssystems. 

Für Geodäten auf Mannigfaltigkeiten folgt daraus, dass die maximale Geodäte γ : I → 

M mit γ(0) = p und ˙γ(0) = v alle kompakten Teilmengen von M, die p enthalten bzw. 

alle kompakten Teilmengen von T M, die v enthalten, verlassen. 

Definition 4.5. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) heißt geodätisch vollständig, 

wenn für alle p ∈ M und alle v ∈ TpM der maximale Definitionsbereich der 

Geodäte γ mit γ(0) = p und ˙γ(0) = v gleich R ist. 

Korollar 4.6. Eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit ist geodätisch vollständig. 

Beweis: Wegen der Existenz und Eindeutigkeit gibt es für jedes p ∈ M und jedes 

v ∈ TpM eine Umgebung v ⊂ T M von v und ein ɛ > 0, so dass für alle w ∈ v 

die Geodätenγ mit γ(0) = π(w) und ˙γ(0) = w auf (−ɛ, ɛ) definiert sind. Weil der 

Einheitsball kompakt ist, gibt es dann auch für jedes p ∈ M eine Umgebung U ⊂ M 

von p, so dass für alle w ∈ π−1 [U] mit g(e, e) < C die Geodäte mit γ(0) = π(w) und 

˙γ(0) = w auf (−ɛ, ɛ) definiert ist. Weil für die Geodäten gilt d g( ˙γ(t), ˙γ(t)) = 0 bleiben 

dt 

die Geodäten in den Bällen von Tγ ( i)M mit g( ˙γ(t), ˙γ(t)) < C. Wegen der Kompaktheit 

gibt es dann ein ɛ > 0, das nur von C abhängt, so dass alle Geodäten mit γ(0) = p 

und ˙γ(0) = v mit |v| < C auf (−ɛ, ɛ) definiert sind. Diese Geodäten können wir dann 

zu Geodäten auf ganz R verkleben. q.e.d. 

Offenbar fürgen sich die maximalen Definitionsbereiche zu einer Teilmenge von 

R × T M zusammen. Diese ist wegen der lokalen Existenz und Eindeutigkeit offen. 

Schließlich bemerken wir noch, dass die Geodätengleichung auch Skaleninvariant ist: 

Wenn γ : I → M eine Geodäte mit γ(0) = p ∈ M und ˙γ(0) = v ∈ TpM ist, dann 

ist für alle λ ∈ Rt → γ(λt) eine Geodäte mit γ(0) = p und ˙γ(0) = λv. Denn aus der 

Definition der zweiten Ableitung folgt sofort, dass die zweite Ableitung dieser Kurve 

gleich λ2 mal ¨γ ist. 

4.3 Die Metrik einer Riemannschen Mannigfaltigkeit 

In diesem Abschnitt zeigen wir, dass auf einer zusammenhängenden Riemannschen 

Mannigfaltigkeit das Infimum der Längen aller glatten Wege von einem Punkt p zu 

einem anderen Punkt g eine Metrik definiert. Dazu definieren wir zunächst die Länge 

eines Weges.

4.3. DIE METRIK EINER RIEMANNSCHEN MANNIGFALTIGKEIT 49 

Definition 4.7. Sei γ : [a, b] → M ein stetig differenzierbarer Weg in einer Riemannschen 

Mannigfaltigkeit (M, g). Dann ist die Länge von γ definiert als 

l(γ) = 

b 

a 

| ˙γ(t)|dt = 

b 

a 

g( ˙γ(t), ˙γ(t))dt. 

Weil γ stetig differenzierbar ist, ist t ↦→ | ˙γ(t)| auf t ∈ [a, b] stetig und damit auch 

integrabel. Außerdem ist die Länge reparametrisierungsinvariant, d.h. für jede stetige 

differenzierbare bijektive Abbildung ϕ : [c, d] → [a, b], mit ϕ(c) = a und ϕ(d) = b folgt 

aus der Kettenregel 

l(γ ◦ ϕ) = 

d 

c 

| ˙γ(ϕ(t))|dt = 

b 

a 

| ˙γ(t)|dt = l(γ). 

Das gilt aber nicht mehr, wenn ϕ nicht injektiv ist, weil dann alle mehrfach durchlaufenen 

Wegstücke von γ mehrfach zur Weglänge von γ ◦ϕ beitragen. Offenbar kann man 

jeden Weg so umparametrisieren, dass der Parameter gerade die Bogenlänge des schon 

durchlaufenen Weges ist. Setzen wir 

s = ϕ(t) = 

t 

a 

| ˙γ(τ)|dτ, 

dann ist ϕ offenbar eine stetig differenzierbare bijektive Abbildung 

ϕ : [a, b] → [0, l(γ)]. 

Und γ◦ϕ −1 ist ein durch Bogenlänge parametrisierter Weg. Wenn allerdings | ˙γ(t)| Nullstellen 

hat, dann ist ϕ −1 nicht notwendigerweise stetig differenzierbar. Weil eine offene 

Teilmenge des R n genau dann zusammenhängend ist, wenn sie wegzusammenhängend 

ist, sind die Wegzusammenhangskomponenten einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit 

auch zusammenhängend. Umgekehrt ist eine zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeit 

auch wegzusammenhängend. 

Definition 4.8. Sei (M, g) eine zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit. 

Dann definieren wir für alle Paare p, q ∈ M den Abstand d(p, q) als das Infimum der 

Längen aller glatten Wege von p nach q. 

Offenbar ist d symmetrisch und erfüllt die Dreiecksungleichung d(p, r) ≤ d(p, q) + 

d(q, r) für alle p, q, r ∈ M. Das Infimum lässt sich nicht immer durch einen Weg realisieren. 

So lassen sich z.B. die beiden Punkte (−1, 0) und (1, 0) in R 2 \ {(0, 0)} zusammen 

mit der euklidischen Metrik nicht durch einen Weg der Länge 2 verbinden. Der Abstand 

ist aber wie in R 2 gleich 2.


Beispiel 4.9. Sei Rn der euklidische Raum mit der euklidischen Metrik. Offenbar gilt 

für alle glatten Wege γ 

 

| ˙γ1(t)| ≤ | ˙γ(t)| = ˙γ 2 1(t) + . . . + ˙γ 2 n(t). 

Also ist für jeden glatten Weg γ von 0 ∈ R n nach (1, 0, . . . , 0) ∈ R n die Länge von 

γ größer oder gleich 1. Die Länge der Verbindungsgeraden hat gerade die Länge 1. 

Wegen der Translations- und Rotationsinvarianz un dem Verhalten unter Skalentransformationen 

x → λx ist dann für alle x, y ∈ R n der Abstand zwischen x und y gerade 

gleich dem euklidischen Abstand. 

Satz 4.10. Für jede zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit definiert der 

Abstand eine Metrik. Die von dieser Metrik induzierte Topologie stimmt mit der Topologie 

der entsprechenden Mannigfaltigkeit überein. 

Beweis: Für jeden Punkt p ∈ M gibt es eine Karte, dessen Definitionsbereich p enthält. 

In dieser karte ist die Riemannsche Metrik gegeben durch eine glatte Funktion in die 

symmetrischen positiv definiten n × n Matrizen. Weil S n−1 kompakt ist, gibt es für 

jede symmetrische positiv definite n × n Matrix A zwei Kontanten C1 > 0 und C2 > 0, 

so dass gilt 

C1 1 ≤ A ≤ C2 1. 

Dann gibt es auch ein ɛ > 0, so dass der Definietionsbereich eine Umgebung von p 

enthält, dessen Bild unter der Karte einen abgeschlossenen Ball um das Bild von p 

enthält. Weil diese Bälle kompakt sind folgt, dass es zwei positive Konstanten C1, C2 

gibt, so dass die Riemannsche Metrik auf diesem kompakten Ball in dieser Karte nach 

unten durch C1mal der euklidischen Metrik und nach oben durch C2mal der euklidischen 

Metrik abgeschätzt werden kann. Daraus folgt, dass die Umgebungen von p 

bezüglich der von diesem Abstand induzierten Topologie mit den Umgebungen von p 

bezüglich der Topologie der differenzierbaren Mannigfaltigkeit übereinstimmt. Wenn g 

bezüglich der Karte in diesem Ball liegt, dann kann der Abstand d(p, q) nach unten 

durch C1mal dem euklidischen Abstand zwischen p und q abgeschätzt werden und ist 

deshalb nur für q = p gleich Null. Wenn q bezüglich der Karte nicht in diesem Ball 

liegt, dann gibt es für jeden Weg von p nach q einen kleinsten Parameterwert, an dem 

der Weg nicht mehr im Inneren von dem Ball liegt, also auf dem Rand des Balles ist. 

Dann ist der Abstand zwischen p und q größer oder gleich dem kleinsten Abstand von 

p zum Rand von dem Ball und damit auch positiv. Also definiert der Abstand eine 

Metrik auf M. q.e.d. 

Weil jeder kompakte metrische Raum auch vollständig ist folgt sofort: 

Korollar 4.11. Jede kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit ist als metrische Raum 

vollständig. q.e.d.

4.4. DIE EXPONENTIALABBILDUNG 51 

Definition 4.12. Ein stetig differenzierbarer Weg heißt Segiment, wenn die Länge des 

Weges mit dem Abstand zwischen Anfangspunkt und Endpunkt übereinstimmt und er 

durch die Bogenlänge parametrisiert ist. 

4.4 Die Exponentialabbildung 

Definition 4.13. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann sei für jedes 

p ∈ M Op die Menge aller Tangentialvektoren v ∈ TpM, für die die Geodäte mit 

γ(0) = p und ˙γ(0) = v auf dem Intervall [0, 1] existiert. Die Vereinigung aller dieser 

Mengen 0 = ∪p∈MOp bildet eine Teilmenge von T M. Dann ist die Exponentialabbildung 

im Punkt p ∈ M definiert als expp : Op → M, mit expp(v) = γv(1), wobei γv die 

maximale Geodäte mit γv(0) = p und ˙γv(0) = v ist. 

Satz 4.14. (i) Die Vereinigung 0 = ∪p∈MOp der Definitionsbereiche der Exponentialabbildung 

ist eine offene Teilmenge von T M, die den Nullschnitt enthält. 

(ii) Sei E die Abbildung 

Dann ist E eine glatte Abbildung. 

E : 0 → M × M, v ↦→ (π(v), exp(v)) 

(iii) Für jedes p ∈ M gibt es eine offene Umgebung der 0 ∈ TpM in Op, so dass 

die Einschränkung von expp auf diese Umgebung ein Diffeomorphismus auf eine 

offene Umgebung von p ist. 

(iv) Es gibt eine offene Umgebung des Nullschnittes von T M in 0, so dass die Einschränkung 

von E auf diese offene Umgebung ein Diffeomorphismus auf eine 

offene Umgebung der Diagonalen in M × M ist. 

Beweis: Wenn γ : (−ɛ, ɛ) → M eine Geodäte in M ist mit γ(0) = p und ˙γ(0) = v, 

dann ist für alle λ > 0 die Kurve 

γλ : (− ɛ 

) → M, t ↦→ γ(λt) 

λ 

eine Geodäte mit γ(0) = p und ˙γ(0) = λv. Deshalb folgt aus der lokalen Existenz und 

Eindeutigkeit von Geodäten, dass die expp für alle p ∈ M auf einer Umgebung von 

0 ∈ TpM definiert ist. Und es folgt auch, dass für alle p ∈ M Op eine offene Teilmenge 

von TpM ist. Für eine gwöhnliche Differentialgleichung mit glatten Koeffizientenfunktionen 

hängen die eindeutigen Lösungen der entsprechenden Anfangswertprobleme


glatt von den Anfangswerten ab. Daraus folgt dann, dass 0 = ∪p∈MOp eine offene Teilmenge 

von T M ist und die Abbildung E : 0 → M × M eine glatte Abbildung ist. 

Zum Beweis von (iii) und (iv) benutzen wir den Satz der inversen Funktion. 

Den Tangentialraum aus T M im Punkt 0p ∈ TpM können wir in einer Karte mit 

TpM × TpM identifizieren, und den Tangentialraum in M × M in einem Punkt (p, p) 

der Diagonale auch mit TpM × TpM. Dann hat die Ableitung von E in einem Punkt 

0p ∈ TpM als lineare Abbildung von TpM × TpM nach TpM × TpM die Form 

 

0 

 

1TpM 

0 1TpM 

Dann folgt die Aussage (iv) aus dem Satz der inversen Funktion. Insbesonder hat 

die Ableitung von exp p im Punkt 0p ∈ TpM als Ableitung die identische Abbildung von 

Sei I0(v) = d 

dt (tv)|t=0 der kanonische Isomorphismus 

Dann ist 

I − 0 : TpM → T0TpM. 

D exp p(T0(v)) = d 

dt expp(tv)|t=0 

= d 

dt γtv(1)|t=0 

= d 

dt γv(t)|t=0 

= v. 

4.5 Geodätische und Kürzeste 

Wir haben schon gesehen, dass im euklidischen Raum die Verbindungsgeraden zwischen 

zwei Punkten der kürzeste Weg ist, der die beiden Punkte verbindet. In allgemeinen 

Riemannschen Mannigfaltigkeiten sind Geodäten, die ja dadurch definiert sind, das die 

Geschwindigkeit konstant ist, die naheliegende Verallgemeinerung von Verbindungsgeraden. 

Wir wollen jetzt zeigen, dass auch sie lokal die kürzesten Wege sind, die zwei 

Punkte miteinander verbinden. 

Definition 4.15. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und γ : [a, b] → M 

ein glatter Weg. Dann heißt eine Fortsetzung der Abbildung γ 

γ : [a, b] × (−ɛ, ɛ) → M, (t, τ) ↦→ γ(t, τ) mit γ(t, 0) = γ(t).

4.5. GEODÄTISCHE UND KÜRZESTE 53 

Eine Variation des Weges γ. Wenn für alle τ ∈ (−ɛ, ɛ) gilt γ(a, τ) = γ(a) und 

γ(b, τ) = γ(b) dann heißt γ eine Variation mit festen Endpunkten. Für solche Variation 

definieren 

X(t, τ) = ∂γ 

∂γ 

(t, τ) und Y (t, τ) = (t, τ) 

∂t ∂τ 

zwei Vektorfelder längs der entsprechenden Wege und längs der Variation X wird das 

Geschwindigkeitsvektorfeld genannt und Y das Variationsvektorfeld. 

Satz 4.16. (Erste Variation der Bogenlänge) Sei γ : [a, b]×(−ɛ, ɛ) → M eine Variation 

der nicht konstanten Geodäte γ : [a, b] → M. Für alle τ ∈ (−ɛ, ɛ) sei l(τ) = l(γ(·, τ)) = 

b 

| ∂γ 

|dt. Dann gilt 

∂t 

a 

∂ 

x 

l(0) = g(Y, ) |(b,0) 

(a,0) ∂τ |x| . 

Hierbei bezeichnet X = ∂γ 

∂γ 

das Geschwindigkeitsvektorfeld und Y = das Variations- 

∂t ∂τ 

vektorfeld der Variation γ. Wenn die Geodäte nach Bogenlänge parametrisiert ist gilt 

also 

∂ 

l(0) = g(Y, X) |(b,0) 

(a,0) ∂τ . 

Insbesondere ist für jede Variation mit festen Endpunkten 

Beweis: 

∂ ∂ 

l(τ) = 

∂τ ∂τ 

= 

b 

a 

 

= 

a 

b 

b 

a 

∂l(0) 

∂τ 

= 0. 

g( ˙γ(t, τ), ˙γ(t, τ))dt 

1 ∂ 

(g( ˙γ(τ, τ), ˙γ(t, τ)))dt 

2| ˙γ(t, τ)| ∂τ 

1 

|X, (t, τ)| g 

2 ∂ γ(t, τ) 

, 

∂τ∂t 

∂γ(t, τ) 

 

dt. 

∂t 

Hierbei haben wir die zweiten Ableitungen der Abbildung γ wie im Abschnitt über 

die zweiten Ableitungen definiert. Wenn wir die Eigenschaften dieser zweiten Ableitungen 

benutzen und dass für τ = 0 der Weg γ(·, τ) eine Geodäte ist, dann erhalten 

wir


d 

l(0) = 

dτ 

 

= 

a 

b 

 

= 

a 

b 

 

= 

a 

b 

b 

a 

1 

|X, (t, 0)| g 

2 ∂ γ(t, 0) 

, 

∂t∂τ 

∂γ(t, 0) 

1 ∂ 

|X, (t, 0)| ∂t g 

 

∂γ(t, 0) 

, 

∂τ 

∂γ(t, 0) 

 

dt 

∂t 

 

dt 

∂t 

1 

|X, (t, 0)| g 

 

∂γ(t, 0) 

, 

∂t 

∂2γ(t, 0) 

∂t2 

dt 

1 ∂ 

g(Y (t, 0), X(t, 0))dt 

|X, (t, 0)| ∂t 

1 

= 

|X(t, 0)| 

g(Y (t, 0), X(t, 0)) |(b,0) 

(a,c) . 

Wir bemerken noch, dass für Geodäten |X(t, 0)| konstant ist, wegen 

 

2 ∂ 

∂ γ ∂γ 

g(X(t, 0), X(t, 0)) = 2g (t, 0), (t, 0) 

∂t ∂t2 ∂t 

= 0. 

Satz 4.17. (Gauß Lemma) Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und p ∈ M. 

Dann gilt für alle u ∈ Op, v, w ∈ TpM mit v ∈ Ru: 

g exp p(u)(Dv exp p(x), Dw exp p(x)) = gp(v, w). 

Für hinreichend kleiner δ > 0 werden also die Sphären {u ∈ TpM | |u| = δ} 

durch exp p diffeomorph auf Untermannigfaltigkeiten von M abgebildet, die die von p 

ausgehenden Geodäten senkrecht schneiden. 

Beweis: Für u = 0 folgt die Aussage aus der Berechnung der Ableitung der Exponentialabbildung 

im Punkt Null. Sei also u = 0. Dann können wir wegen der Linearität 

v = u annehmen. Wir betrachten die Variation γ(t, τ) = exp(t(u cos τ + w sin(τ))) 

der Geodäten t ↦→ exp(tu). Das Geschwindigkeitsvektorfeld und Variationsvektorfeld 

dieser Variation ist gegeben durch 

X(t, 0) = Du exp(tu) 

Y (t, 0) = Dtw exp(tu)

4.5. GEODÄTISCHE UND KÜRZESTE 55 

Die Längen aller Wege γ(·, τ) dieser Variation sind gegeben durch 

Daraus folgt 

l(γ(·, τ)) = |u cos τ + w sin τ|. 

d 

dt l(γ(·, 0) = 2gp(u, w) 

2|u| 

Einsetzen in die Variantionsformel ergibt 

= gp(w, u 

|u| ). 

gp(w, u 

|u| ) = gexp(u)(Dw exp(u), Du exp(u) 

). 

|u| 

Daraus folgt die Behauptung. q.e.d. 

Satz 4.18. (Geodätische sind Kürzeste) Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. 

Sei p ∈ M und ɛ > 0 so gewählt, dass 

Op,ɛ = {v ∈ TpM | |v| < ɛ} 

durch die Exponentialabbildung diffeomorph auf eine offene Umgebung von p abgebildet 

wird. Dann ist für alle v ∈ Op,ɛ 

und das Bild 

d(p, exp(v)) = |v| 

exp p[Op,ɛ] = {q ∈ M | d(p, q) < ɛ}. 

Die Kurve t → exp(tv) ist die bis auf monotone Umparametrisierung eindeutig bestimmte 

kürzeste Kurve von p nach exp(v). 

Beweis: Sei v ∈ Op,ɛ und γ ein Weg von p nach expp(v). Zumindest auf einem Teilstück 

von γ gibt es den einen Weg ˜γ in Op,ɛ, so dass gilt γ expp 0˜γ. Sei ˜ R : v → v das radiale 

|v| 

Einheitsvektorfeld auf Op,ɛ ⊂ TpM und ˜ R das durch expp davon induzierte Vektorfeld


auf exp p[Op,ɛ]. Dann gilt 

l(γ) = 

b 

a 

| ˙γ(t)|dt ≥ 

b 

a 

 

= 

a 

b 

 

= 

a 

b 

 

= 

a 

b 

gγ(t)( ˙γ(t), R)dt 

gp(˙˜γ(t), ˜ R)dt 

gp 

 

˙˜γ(t), ˜γ(t) 

 

dt 

˜γ(t) 

d 

|˜γ(t)|dt = |˜γ(b)| − |˜γ(a)| = |˜γ(b)|. 

dt 

Gleicheit gilt in der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung nur, wenn ˙γ(t) und R kolinear 

sind, wenn also ˙˜γ(t) und ˜ R kolinear sind, also ˜γ eine Umparametrisierung von t ↦→ 

exp(tv) ist. Dann folgt die Aussage für alle v Wege, die in Op,ɛ verbleiben. Alle anderen 

Wege müssen aber den Rand von Op,ɛ passieren, so dass sie auch länger als ɛ und damit 

als die Länge des dem Endpunkt entsprechenden Elementes in Op,ɛ sein müssen.q.e.d. 

Weil die Geodäten alle also lokal Kürzeste sind folgt sofort: 

Korollar 4.19. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann kann man jede 

Geodätische in endlich viele Kürzeste zerlegen, d.h. wir können den Definitionsbereich 

durch endlich viele Intervalle überdecken, auf denen die Geodätische eine Kürzeste ist. 

q.e.d. 

Satz 4.20. Jede Kürzeste ist eine Umparametrisierung einer Geodätischen. 

Beweis: Sei γ : [a, b] → M eine Kürzeste. Dann ist wegen der Dreiecksungleichung für 

alle s < t ∈ [a, b] auch die Einschränkung von γ auf [s, t] eine Kürzeste. Dann folgt aus 

dem Satz, dass der Definitionsbereich von γ durch offene Intervalle überdeckt werden 

kann, auf denen γ eine Umparametrisierung einer Geodäte ist. q.e.d. 

4.6 Der Satz von Hopf Rinow 

Der Satz von Hopf Rinow besagt grob gesprochen, dass alle möglichen Charakterisierungen 

von Riemannschen mannigfaltigkeiten als vollständig äquivalent sind.

4.6. DER SATZ VON HOPF RINOW 57 

Satz 4.21. (von Hopf Rinow) Sei M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann 

sind die folgenden Aussagen äquivalent: 

(i) Für alle p ∈ M und alle v ∈ TpM existiert die Geodäte γ mit γ(0) = p und 

γ ′ (0) = v für alle t ∈ R. 

(ii) Für ein p ∈ M und alle v ∈ TpM existiert die Geodäte γ und γ(0) = p und 

γ ′ (0) = v für alle t ∈ R. 

(iii) M hat die Heine-Borel Eigenschaft, d.h. jede beschränkte abgeschlossene Menge 

ist kompakt. 

(iv) M ist als metrischer Raum vollständig. 

Beweis: Offenbar folgt (ii) aus (i). Weil für jede Cauchyfolge die entsprechende Folge 

der Abstände zu einem beliebigen Punkt p ∈ M beschränkt ist, und weil jeder kompakte 

metrische Raum auch vollständig ist folgt auch (ii) aus (iii). Wenn (i) nicht gilt, dann 

gibt es eine Geodäte γ mit maximalem Definitionsbereeich (a, b) ⊂ R, so dass entweder 

−∞ < a oder b < ∞. In beiden Fällen gibt es dann eine Cauchyfolge (γ(tn))n∈N mit 

lim 

n→∞ tn = a bzw. lim tn = b. Wenn diese Cauchyfolge konvergiert, muss diese Geodäte 

n→∞ 

jede kompakte Umgebung von dem Grenzwert verlassen. Weil die Exponentialabbildung 

aber lokal ein Diffeomorphismus ist, besitzt jeder Punkt p ∈ M eine kompakte 

Umgebung, also auch der Grenzwert der Cauchyfolge, soblad er existiert. Deshalb folgt 

auch (i) aus (iv). 

Zuletzt zeigen wir, dass aus (ii) auch (iii) folgt. Weil jede abgeschlossene Menge 

einer kompakten Menge beschränkt ist, und weil das Bild jeder kompakten menge unter 

der stetigen Exponentialabbildung kompakt ist, gelingt es zu zeigen, dass aus (ii) 

folgt, dass für alle r > 0 das Bild exp p[B(0, r)] gleich B(p, t) ist. Offenbar besitzen alle 

Punkte in exp p[B(0, r)] einen Weg von nach p der Länge ≤ t. Deshalb ist exp p[B(0, r)] 

in B(p, r) enthalten. Sei I = {r ∈ R + 0 | exp p[B(0, r)] ⊃ B(p, r)}. Wir wissen bereits, 

dass I eine offene Umgebung von =∈ R + 0 enthält. Wir zeigen jetzt, dass I sowohl offen 

als auch abgeschlossen ist. Weil alle Intervalle und damit auch R + 0 zusammenhängend 

sind, folgt daraus, dass I = R + 0 ist, also (iii) gilt. 

Sei (rn)n∈N eine monoton wachsende beschränkte Folge in I, die gegen r konvergiert. 

Dann gibt es für jedes q ∈ B(p, r) und jedes ɛ > 0 einen Weg von p nach q der Länge 

r + ɛ. Also gibt es eine konvergente Folge (qn)n∈N von Punkten, die jeweils in dem 

B(p, rn) mit dem gleichen Index liegen, und gegen q konvergiert. Dann gibt es auch 

eine Folge (Vn)n∈N von Elementen in TpM, die jeweils in B(0, rn) mit dem gleichen


Index liegen, so dass exp p(vn) = qn gilt für alle n ∈ N. Weil B(0, r) ⊂ TpM kompakt 

ist, konvergiert eine Teilfolge von (Vn)n∈N in TpM gegen ein V ∈ B(0, r) ⊂ TpM. Aus 

der Stetigkeit der Exponentalabbildung folgt 

Also gilt 

exp p(v) = lim 

n→∞ exp p(vn) = lim 

n→∞ qn = q. 

exp p[B(0, r)] ⊃ B(p, r). 

Deshalb ist I abgeschlossen. 

Sei R ∈ I. Wir zeigen, dass es dann ein ɛ > 0 gibt, so dass auch R + ɛ ∈ I gilt. 

Offenbar ist dann B(p, R) = exp p[B(0, R)] kompakt. Weil die Exponentialabbildung 

lokal ein Diffeomorphismus ist, besitzt jeder Punkt von M eine Umgebung, dessen 

Abschluss kompakt ist. Weil jede offene Überdeckung von B(p, R) durch Umgebung 

von allen Punkten von B(p, R) eine endliche Teilüberdeckung besitzt, gibt es dann 

auch eine kompakte Teilmenge K ⊂ M, die eine Umgebung von B(p, R) ist. Sei jetzt 

ɛ > 0 so gewählt, dass alle Paare von Punkten in K, deren Abstand kleiner als ɛ > 0 

ist, durch eine eindeutige Kürzeste verbunden werden können. Jedes q in B(p, R + ɛ), 

das nicht in B(p, R) liegt, besitzt für jedes n ∈ N einen Weg γn von p nach q der Länge 

≤ d(p, q) + 1 

n . Sei dann für jedes δ > 0 tn der kleinste Parameter von dem Weg γn 

der nicht mehr in B(0, R) liegt. Sei B(0, R) \ B(0, R) ein Häufungspunkt der Folge 

(γn(tn))n∈N. Dann muss gelten 

R + δ(s, q) = d(p, s) + d(s, q) = lim 

n→∞ d(p, q) + 1 

n 

= d(p, q). 

Weil δ(s, q) < ɛ ist, lassen sich s und q durch eine eindeutige Kürzeste verbinden. 

Die Kombination der Geodäte von p nach s mit dieser Geodäte liefert eine Kürzeste 

von p nach q. Weil Kürzeste lokal immer unparametrisierte Geodäten sind, ist diese 

Kombination selber eine Geodäte von p nach q. Also liegt q ind exp p[B(0, R + ɛ)]. 

Deshalb ist I also offen. q.e.d. 

Wir haben im Beweis von (ii)⇒(iii) sogar gezeigt, dass für alle p ∈ M und alle 

r ≥ 0 gilt 

exp p[B(0, r)] = B(p, r). 

Korollar 4.22. Sei (M, p) eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann lassen 

sich zwei beliebige Punkte p, q ∈ M durch eine Kürzeste verbinden. 

q.e.d. 

Korollar 4.23. Sei (M, p) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, die eine eigentliche 

Lipschitzstetige Funktion f : M → R besitzt. Dann ist (M, g) vollständig. Hierbei heißt 

eine Funktion eigentlich, wenn das Urbild von kompakten Mengen kompakt ist.

4.7. KRÜMMUNG UND JACOBIFELDER 59 

Beweis: Wir zeigen, dass unter den angegebenen Voraussetzungen (M, g) die Heine- 

Borel-Eigenschaft hat. Wegen der Lipschitzstetigkeit von f ist das Bild jeder beschränkten 

menge von M unter f ebenfalls beschränkt. Deshalb ist jede abgeschlossene und 

beschränkte Teilmenge von M eine abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Teilmenge, 

und damit selber kompakt. q.e.d. 

Im Folgenden werden wir uns überwiegend mit vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeiten 

beschäftigen. 

4.7 Krümmung und Jacobifelder 

In diesem Abschnitt wollen wir die Längenverzerrung der Exponentialabbildung ausrechnen. 

Sei also (M, p) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und p ∈ M. Für zwei 

Elemente v, w ∈ TpM definieren wir eine Variation der Geodäte 

γ : [0, 1] → M, t ↦→ exp p(tv). 

Hierbei setzen wir voraus, dass die Exponentialabbildung auf allen auftretenden Elementen 

von TpM definiert ist, was z.B. immer dadurch garantiert werden kann, dass 

(M, g) vollständig ist. 

γ : [0, 1] × (−ɛ, ɛ) → M, (t, τ) ↦→ exp p(t(v + τw)). 

Das entsprechende Variationsvektorfeld Y (t) = Y (t, 0) ist also gegeben durch 

Y (t) = ∂ 

 

 

γ(t, τ) = D exp 

∂τ 

p(tv)(tw). 

Insbesondere ist Y (0) = 0 und 

 

 

Y (t) 

Außerdem gilt 

˙Y (0) = ∇ ∂ 

∂t 

t=0 

τ=0 

= ∂2 γ 

∂t∂τ 

∇ ∂ ∇ ∂ Y (t, 0) = ∇ ∂ ∇ ∂ X(t, τ) = 

∂t ∂t 

∂t ∂τ 

∇ ∂ ∇ ∂ 

∂t ∂τ 

 

 

 

t=0,τ=0 

X(t, τ) − ∇ ∂ 

∂τ 

= R(X(t, τ), Y (t, τ))X(t, τ). 

Indem wir auf τ = 0 einschränken erhalten wir 

= ∂2 

γ 

 

∂τ∂t 

t=0,τ=0 

= w. 

∇ ∂ X(t, τ) − ∇ ∂ ∂ 

[ , ]X(t, τ) 

∂t 

∂t ∂τ 

¨Y (t) = −R(Y (t), X(t))X(t) mit 

X(t) = ∂γ 

 

 

 

(t, τ) und Y ¨ 

(t) = ∇ ∂ ∇ ∂ Y (t, τ) 

∂t ∂t ∂t 

τ=0 

τ=0 

.


Definition 4.24. Sei γ : I → M eine Geodätische in der Riemannschen Mannigfaltigkeit 

(M, g). Ein Vektorfeld Y : I → T M längs γ heißt Jacobifeld, wenn 

¨Y + R(Y, X)X = 0 

gilt für alle t ∈ [0, 1], dabei ist X, (t) = dγ 

(t) das Geslchwindigkeitsvektorfeld der 

dz 

Geodätischen γ. 

Bemerkung 4.25. Die Jacobigleichung ist eine lineare Differentialgleichung 2.Ordnung, 

so dass der Raum der Jacobifelder längs einer Geodätischen γ die Dimension 

2 dim M hat. Wenn Y eine Lösung der Jacobigleichung ist, dann ist auch 

Y = 

g(Y, X) 

g(X, X) X 

eine Lösung der Jacobigleichung tangential an die Geodätische. 

Aus der obigen Rchnung folgt 

Satz 4.26. (Differential der Exponentialabbildung) Seien (M, g) eine Riemannsche 

Mannigfaltigkeit, p ∈ M und v, w ∈ TpM, so dass exp p(v) definiert ist. Dann ist für 

t ∈ [0, 1]. 

Y (t) = D exp p(tv)(tw) 

das eindeutig definierte Jacobifeld längs γ(t) = exp p(tv) mit den Anfangsbedingungen 

Y (0) = 0 und ˙ Y (0) = w. q.e.d. 

Definition 4.27. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und γ : [a, b] → M 

eine glatte Kurve. Dann heißt ein Schnitt X von dem Vektrobündel γ ∗ T M über [a, b] 

Vektorfeld längs γ: 

X : [a, b] → T M und π ◦ X = γ. 

Ein Vektorfeld längs γ heißt parallel, wenn für alle t ∈ [a, b] gilt 

∇ ˙γ(t)X(t) = 0. 

Satz 4.28. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und γ : [a, b] → M eine 

glatte Kurve. Dann existiert für alle v ∈ Tγ(t0)M mit t0 ∈ [a, b] genau ein paralleles 

Vektorfold X längs γ mit X(t0) = v. 

Beweis: Wir überdecken die kompakte Teilmenge γ[[a, b]] ⊂ M durch die Definitionsbereiche 

von endlich vielen Karten. Dann können wir insbesondere [a, b] durch 

endlich viele offene Teilintervalle überdecken, so dass γ jedes der Teilintervalle in den 

Definitionsbereich einer Karte abbildet. Indem wir offene Teilintervalle gegebenenfalls

4.7. KRÜMMUNG UND JACOBIFELDER 61 

weglassen, könen wir erreichen, dass jeder Punkt von [a, b] in höchstens zwei Intervallen 

enthalten ist. Indem wir in Schnittmengen von zwei Teilintervallen jeweils einen Punkt 

für den Kartenwechsel auswählen, erhalten wir auf ganz [a, b] eine stetige stückweise 

glatte Basis von γ ∗ T M. Weil GL(n, R) eine offene Teilmenge als reellen n×n Matrizen 

eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist, können wir mit einer geeigneten Zerlegung 

der Eins die Basis von γ ∗ T M in eine glatte Basis umwandeln. Also ist γ ∗ T M ein triviales 

Vektorbündel über [a, b]. In diesem trivialen Vektorbündel wird die Gleichung 

∇ ˙γ(t)X(t) = 0 zu einer linearen Differentialgleichung mit glatten Koeffizienten. Die 

Bedingung X(t0) = v ergibt ein Anfangswertproblem, dass wegen der Theorie der linearen 

gewöhnlichen Differentialgleichungen mit stetigen Koeffizienten auf ganz [a, b] 

eine eindeutige Lösung besitzt. q.e.d. 

Die Fundamentallösung dieser linearen Differentialgleichung definiert für jeden glatten 

Weg γ : [a, b] → M mit Anfangswerten in t0 = a durch auswerten bei t = b eine 

lineare Abbildung von Tγ(a)M nach Tγ(b)M. Wenn X und Y zwei Vektorfelder längs γ 

sind, dann gilt für alle t ∈ [a, b] 

∇ ˙γ(t)g(X(t), Y (t)) = g(∇ ˙γ(t)X(t), Y (t)) + g(X, (t)∇ ˙γ(t)Y (t)). 

Also ist für parallele Vektorfelder X und Y das Skalarprodukt g(X(t), Y (t)) längs γ 

konstant. Insbesondere ist die obige Abbildung von Tγ(a)M eine bijektive Isometrie 

zwischen den beiden Hilberträumen Tγ(a)M und Tγ(b)M. 

Definition 4.29. Sei (M, g) eine zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit. 

Dann ist für einen Punkt p ∈ M die Holomoniegruppe in p, die abgeschlossene Untergruppe 

von den orthogonalen Abbildungen von TpM auf sich selber, die von den 

Paralleltransporten längs aller glatten geschlossenen Wege von p nach p erzeugt wird. 

Lemma 4.30. Seien (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und γ : [a, b] → M 

eine Geodätische in M. 

(i) Für alle Variationen γ : [a, b] × (−ɛ, ɛ) → M, (t, τ) ↦→ γ(t, τ) die für alle τ ∈ 

(−ɛ, ɛ) aus Geodätischen besteht, ist das Variationsvektorfeld Y (t) = ∂γ 

(t, 0) ein 

∂τ 

Jacobifeld. 

(ii) Jedes Jacobifeld längs einer Geodätischen γ kann man wie in (i) erhalten. 

Beweis: (i) In der Rechnung, in der wir die Jacobigleichung hergeleitet haben, haben 

wir nur benutzt, dass für alle τ ∈ (−ɛ, ɛ) der Weg t ↦→ γ(t, τ) eine Geodätische ist. Also 

folgt (i) aus dieser Rechnung. 

(ii) Seien X0 = ˙γ(a), Y0 und Y1 Elemente von Tγ(a)M. Dann erweitern wir zunächst 

γ(a, τ) auf einen Intervall τ ∈ (−ɛ, ɛ) durch γ(a, τ) = exp γ(a)(τ · Y0). Längs dieser


Geodäte gibt es dann parallele Vektorfelder X(τ) und Y (τ) mit X(0) = X0 ∈ Tγ(a)M 

und Y (0) = Y1. Dann definieren wir die gesamte Variation γ durch 

γ(t, τ) = exp γ(a,τ)(t(X(τ) + τY (τ))). 

Offenbar sind für alle τ ∈ (−ɛ, ɛ) die Wege t ↦→ γ(t, τ) Geodäten. Wegen (i) ist das 

Variationsvektorfeld 

∂γ(t, τ) 

Y (t, τ) = 

∂τ 

dann ein Jacobifeld. Für t = a gilt 

und 

Y (a, 0) = 

∂γ(a, 0) 

∂τ 

= Y0 

˙Y (a, 0) = ∇ ˙γ(a,0)Y (a, 0) = ∇ ∂γ 

(a,0)X(a, 0) 

∂τ 

= ∇ ∂γ (a,0)(X(τ) + τY (τ)) = Y (0) = Y1 

∂τ 

Wegen dem Satz von Picard Lindelöff gibt es für die Anfangswerte Y (a) = Y0 und 

˙Y (a) = Y1 nur genau ein Jacobifeld. Daraus folgt (ii). q.e.d. 

Bemerkung 4.31. Sei γ : [a, b] → M eine Gedätische und Y : [a, b] → γ ∗ T M ein 

Jacobifeld. Dann zeigt eine einfache Rechnung, dass auch 

Y (t) = 

g(Y (t), ˙γ(t)) 

g( ˙γ(t), ˙γ(t)) ˙γ(t) 

ein tangentiales Jacobifeld längs γ ist. Also ist auch Y ⊥ = Y − Y ein Jacobifeld längs 

γ, dass orthogonal zum Geschwindigkeitsvektorfeld ˙γ(t) ist. Die Tangentialkomponente 

ist immer von der Form 

Y (t) = (α + tβ) ˙γ(t) 

ist also nicht interessant. 

Eine ähnliche Rechnung, wie die Berechnung der Jacobigleichung zeigt, dass die 

natürliche Definition der dritten Ableitungen von glatten Abbildungen 

nicht mehr kommutativ ist. Definieren wir 

∂ 3 γ(s, t, u) 

∂u∂t∂s 

γ : Ω → M, Ω ⊂ R m 

= ∇ ∂γ 

∂u (s,t,u) 

∂ 2 γ(s, t, u) 

∂t∂s

4.8. DIE ZWEITE VARIATION UND DER SATZ VON JACOBI 63 

dann giltfür drei Parameter s, t, u von Ω ⊂ R m : 

∂3γ(s, t, u) 

∂u∂t∂s − ∂3γ(s, t, u) 

∂t∂u∂s 

Dabei benutzen wir wieder 

 

∂γ(s, t, u) 

, 

∂u 

∂γ(s, t, u) 

 

∂γ(s, t, u) 

= R 

, 

∂u 

∂γ(s, t, u) 

 

= 0 

∂t 

und die Definition des Riemannschen Krümmungstensors. 

 

∂γ(s, t, u) 

. 

∂t ∂s 

4.8 Die zweite Variation und der Satz von Jacobi 

Für die Frage, ob Geodätische Kürzeste sind, ist es naheliegend nicht nur die erste 

Variation der Länge sondern auch die zweite Variation der Länge auszurechnen. Wir 

betrachten also eine Variation 

γ : [a, b] × (−ɛ, ɛ) → M 

einer Geodätischen und berechnen dann die zweite Ableitung der Länge. Wir bezeichnen 

wieder mit X − ˙γ das Geschwindigkeitsvektorfeld und mit Y = ∂ das Variations- 

∂τ 

vektorfeld der Variation γ(t, τ). 

dl(γτ) 

dτ = 

b 

a 

∂ 

|X|dt = 

∂τ 

b 

a 

 

= 

a 

b 

 

= 

a 

b 

1 ∂ 

g(X, X)dt 

2|X| ∂τ 

1 

|X| g (∇Y X, X) dt 

1 

|X| g (∇XY, X) dt.


Dann folgt 

d 2 l(γτ) 

d 2 τ 

= d 

dτ 

 

= − 

a 

b 

a 

b 

 

= − 

a 

b 

 

= − 

+ 

b 

a 

Für τ = 0 folgt: 

a 

b 

1 

|X| g (∇XY, X) dt 

1 

|X| 3 g2 (∇XY, X) dt + 

1 

|X| 3 g2 (∇XY, X) dt + 

1 

|X| 3 g2 (∇XY, X) dt + 

g (∇X∇Y Y, X) 

dt + 

|X| 

d2l(γτ) d2 (γτ) = − 

τ 

1 

b 

|X| 

+ 1 

|X| 

= 1 

|X| 

+ 1 

|X| 

b 

a 

 

a 

b 

a 

b 

a 

b 

a 

 

a 

 

a 

b 

b 

1 

|X| ∂τg (∇XY, X) dt 

g (∇Y ∇XY, X) 

dt + 

|X| 

g 

(R(Y, X)Y, X) 

dt 

|X| 

g (∇XY, ∇Y X) 

dt. 

|X| 

1 

|X| 2 g2 ( ˙ Y , X)dt + 1 

|X| 

g (∇X∇Y Y, X) dt + 1 

|X| 

g( ˙ Y ⊥ , ˙ Y ⊥ )dt + 1 

b 

|X| 

a 

Weil γ(t, 0) eine Geoätische ist gilt nämlich 

 

a 

b 

∂ 

∂t Y ⊥ = ∇XY ⊥ = ∇X 

b 

a 

 

a 

b 

b 

a 

g (∇XY, ∇Y X) 

dt 

|X| 

(R(Y, X)Y, X)dt 

g( ˙ Y , ˙ Y )dt 

g(R(Y, X)Y, X)dt 

(∂tg (∇Y Y, X) − g (∇yY, ∇XX)) dt. 

 

Y − 1 

g(Y, X)X 

|X| 2 

= ˙ Y − 1 

|X| 2 g( ˙ Y , X)Y = ˙ Y ⊥ .

4.8. DIE ZWEITE VARIATION UND DER SATZ VON JACOBI 65 

Dann folgt aus den Eigenschaften des Riemannschen Krümmungstensors 

g(R(Y, X)Y, X) = −g(R(Y, X)X, Y ) = −g(R(Y, X)X; Y ⊥ ) = −g(R(Y ⊥ , X, Y ⊥ ). 

Deshalb erhalten wir 

d2l(γτ) 1 

= 

dτ 2 

|X| g (∇Y 

 

 

Y, X) 

 

(b,c) 

(a,0) 

+ 1 

|X| 

b 

a 

 

g( ˙ Y ⊥ , ˙ Y ⊥ ) − g(R(Y ⊥ , X)X, Y ⊥ 

) dt 

Für Variationen mit festen Endpunkten verschwinden Y und seine τ- Ableitungen an 

den Endpunkten. Deshalb verschwindet dann der Randterm. 

Definition 4.32. (Indexformel) Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und 

γ : [a, b] → M eine Geodätische in M mit | ˙γ| > 0. Definiere für Vektorfelder Y1, Y2 

längs γ · [a, b] → M die Indexformel 

I(Y1, Y2) = 1 

| ˙γ| 

b 

a 

(g( ˙ Y1, ˙ Y2) − g(R(Y1, ˙γ) ˙γ, Y2))dt. 

Das ist offenbar eine symmetrische Bilinearform. Mit ihr erhalten wir 

Satz 4.33. (Formel von Synge für die zweite Variation) Sei γ[a, b] × (−ɛ, ɛ) → M eine 

Variation der Geodätischen γ und | ˙γ| > 0. Dann gilt 

d2l(γi) 1 

= 

dτ 2 | ˙γ| g (∇Y 

(b,0) 

 

y, X) 

+ I(Y ⊥ , Y ⊥ ). 

Hierbei ist X das Geschwindigkeitsvektorfeld der Geodätischen und Y das Variationsfeld 

der Variation γ: 

Y (t) = ∂γ 

∂τ 

(a,0) 

∂γ 

und X(t) = (t, 0). 

∂t 

q.e.d. 

Definition 4.34. (i) Sei γ : [a, b] → M eine nicht konstante Geodätische in der Riemannschen 

Mannigfaltigkeit (M, g). Zwei Parameterwerte t0, t1 ∈ [a, b] heißen 

konjugiert, wenn es ein nicht verschwindendes Jacobifeld längs γ gibt, das bei t0 

und t1 verschwindet. Man nennt dann auch γ(t0) und γ(t1) zueinander längs γ 

konjugiert. 

(ii) Ein Element v ∈ TpM im Definitionsbereich der Exponentialabbildung heißt konjugiert, 

wenn exp p(v) längs der Geodätischen t ↦→ exp p(tv) zu exp p(0) konjugiert 

ist.


Satz 4.35. (Jacobi) Sei γ : [a, b] → M eine Geodätische in einer Riemannschen 

Mannigfaltigkeit (M, g) und t ∗ ∈ (a, b) längs γ zu a konjugiert. Dann gibt es eine 

stückweise glatte Variation γ(t, τ) mit festen Endpunkten, so dass l(γτ) < l(γ) für alle 

τ = 0. Hier ist γτ für jedes τ ∈ (−ɛ, ɛ) der Weg t ↦→ γτ(t). Also ist nach konjugierten 

Punkten die Geodätische keine Kürzeste mehr. 

Beweis: Seien Y ein nicht triviales Jacobifeld längs γ mit Y (a) = 0 und Y (t ∗ ) = 0. 

Dann ist ˙ Y (t ∗ ) = 0, weil sonst das Jacobifeld trivial wäre. Wir definieren 

ˆY (t) = 

 

Y (t) für t ∈ [a, t∗] 

0 für t ∈ [t ∗ , b] 

Dann ist ˆ Y ein stetiges, stückweise glattes Vektorfeld längs γ. Wir wählen außerdem 

ein normales glattes Vektorfeld X längs γ, das X(a) = 0 = X(b) und g( ˙ Y (t ∗ ), X(t ∗ ) < 0 

erfüllt. Dann ist 

γ(t, τ) = exp γ(t)( ˆ Y (t) + ɛX(t)) 

für kleine ɛ > 0 eine stückweise glatte Variation von γ(t) mit festen Endpunkten. Für 

sie gilt nach der Formel für die zweite Variation: 

d 2 l(γτ) 

dt 2 

= I( ˆ Y + ɛX, ˆ Y + ɛX) = I( ˆ Y , ˆ Y ) + 2ɛI( ˆ Y , X) + ɛ 2 I(X, X). 

Weil nämlich die tangentiale Komponente eines Jacobifeldes längs einer Geodäte wieder 

ein Jacobifeld ist und höchstens eine Nullstelle haben kann, muss jedes Jacobifeld längs 

einer Geodäte mit zwei Nullstellen normal sein. Deshalb verschwinden alle Randterme 

bei t = a, t = b und bei t = t ∗ in der Formel für die zweite Variation. Wir schreiben 

jetzt die Indexformel etwas um: Seien Y1 und Y2 glatte Vektorfelder längs der Geodäte 

γ. Dann gilt 

I(Y1, Y2) = 1 

| ˙γ| 

= 1 

| ˙γ| 

b 

a 

 

a 

b 

= 1 

| ˙γ| g( ˙ 

 

Y1, Y2) 

 

 

g( ˙ Y1, ˙ 

Y2) − g(R(Y1, ˙γ) ˙γ, Y2) dt 

 

d 

dt g( ˙ Y1, Y2) − g( ¨ 

Y1, Y2) − g(R(Y1, ˙γ) ˙γ, Y2) dt 

t=b 

t=a 

− 1 

| ˙γ| 

b 

a 

g( ¨ Y1 + R(Y1, ˙γ) ˙γ, Y2)dt.

4.9. DER SCHNITTORT 67 

Wenn also Y1 ein Jacobifeld ist verschwindet die Form I(Y1, Y2) bis auf die Randterme. 

Wir erhalten also 

d2l(γτ) dτ 2 

2ɛ 

 

˙ˆY ∗ 

= g (t 

| ˙γ| 

−), X(t ∗ 

˙ˆY 

) − g (a+), X(a) 

+ 2ɛ 

 

˙ˆY ˙ˆY ∗ 

g (b), X, (b) − g (t 

| ˙γ| 

+), X(t ∗ 

) + ɛ 2 I(X, X) 

 

2 

= ɛ 

| ˙γ| g( ˙ Y (t ∗ −), X(t ∗ 

)) + ɛI(X, X) . 

Für hinreichend kleines ɛ ist dieser Ausdruck negativ, und l(γτ) hat bei τ = 0 ein 

striktes lokales Maximum. Zu beachten ist noch, dass γ(t, τ) bei t = t ∗ zwar nicht 

differenzierbar, aber stetig ist, so dass γτ für kleine τ stetige Wege bleiben. q.e.d. 

4.9 Der Schnittort 

Definition 4.36. Sei (M, g) eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit. Auf dem 

Tangentialbündel definieren wir eine Funktions s mit Werten in (0, ∞]: 

s(v) = sup{t ∈ R + | d(π(v), exp π(v)(tv)) = t|v|} für alle v ∈ T M. 

Wir nennen s die Schnittfunktion von M. Offenbar ist für alle λ ∈ R + und alle v ∈ 

T M, die nicht Null sind, die Schnittortfunktion s(λv) an der Stelle λv gleich λ −1 s(v). 

Deshalb genügt es die Schnittortfunktion auf dem Einheitstangentialbündel {v ∈ T M | 

|v| = 1} zu kennen, um s auf ganz T M zu kennen. Wegen der Stetigkeit von dem 

Abstand und der Exponentialfunktion ist für alle v ∈ T M mit |v| = 1 die Geodäte 

t ↦→ exp π(v) genau bis s(v) eine Kürzeste. Ist p ∈ M und v ∈ TpM, so heißt exp p(s(v)v) 

Schnittpunkt längs der Geodätischen t ↦→ exp p(tv). Die Menge 

heißt Schnittort von p. 

Cut(p) = {exp p(s(v)v) | v ∈ TpM mit |v| = 1} 

Im folgenden Satz charakterisieren wir den Schnittort einer vollständigen Riemannschen 

Mannigfaltigkeit. 

Satz 4.37. Sei (M, g) eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit. Sei p ∈ M und 

v ∈ TpM mit |v| = 1, dann gilt 

(i) Für die Geodäte t ↦→ exp p(tv) gilt entweder 

(a) t = s(v) ist der erste zu p kunjugierte Punkt auf der Geodäte t ↦→ exp p(tv).


(b) Es gibt eine andere Kürzeste von p nach exp p(s(v)v). 

(ii) Gilt umgekehrt für ein positives t0 eine von den beiden folgenden Bedingungen für 

die Geodäte t ↦→ exp p(tv), dann gilt s(v) ≤ t0. 

(a) exp p(t0v) ist längs t ↦→ exp p(tv) zu p konjugiert. 

(b) Es gibt eine andere Kürzeste von p nach exp p(t0v). 

Beweis:(i) Wegen dem Satz von Hopf Rimow gibt es zu jedem q ∈ M eine Kürzeste von 

p nach q. Diese ist wegen der Charakterisierung von Kürzesten eine Geodäte. Deshalb 

gibt es für jedes ɛ > 0 ein vɛ ∈ TpM mit |vɛ| = 1 und, so dass die Geodäte t ↦→ exp p(tvɛ) 

den Punkt exp p((s(v)+ɛ)v) an einen t ∈ [s(v), s(v)+ɛ) trifft. Also gibt es eine Nullfolge 

(ɛn)n∈N von positiven Zahlen und eine Folge (vn)n∈N in {w ∈ TpM | |w| = 1} so 

dass für alle n ∈ N die Geodäte t ↦→ exp(tvn) den Punkt exp p((s(v) + ɛn)v) an einen 

tn ∈ [s(v), s(v)+ɛn) trifft. Die Folge (vn)n∈N besitzt dann eine in {we ∈ TpM | |w| = 1} 

konvergente Teilfolge mit Grenzwert v∗. Aus Steitgkeitsgründen ist dann t ↦→ exp p(tv∗) 

eine Kürzeste von p nach exp p(t∗v∗) mit t∗ = limn→∞ tn = s(v). Wenn v∗ = v gilt ist 

also (b) erfüllt. 

Wir zeigen jetzt, dass wenn v∗ = v ist (a) erfüllt ist. Weil die Ableitung der Exponentialabbildung 

exp p durch Jacobifelder gegeben sind, ist (a) äquivalent dazu, dass 

die Exponentialabbildung exp p im Punkt s(v) · v singulär ist, also keine invertierbare 

Ableitung besitzt. Wenn sie im Punkt s(v) · v eine invertierbare Ableitung besitzt, 

dann ist sie wegen dem Satz der inversen Funktion auf einer Umgebung von s(v) · v ein 

Diffeomorphismus. Das wiederspricht aber der Existenz der beiden unterschieldichen 

Folgen ((s(v) + ɛn)v)n∈N und (tnvn)n∈N, die für jedes n ∈ N durch exp p jeweils auf 

die gleichen Punkte abgebildet werden und im Grenzwert n → ∞ beide gegen s(v)v 

konvergieren. Also folgt aus v∗ = v die Bedingung (a). 

Wenn umgekehrt (a) gilt, folgt aus dem Satz von Jacobi, dass s(v) ≤ t0 gilt. 

Wenn (b) gilt, dann gibt es ein v ′ ∈ TpM mit |v ′ | = 1 und exp p(t0v ′ ) = exp p(t0v) 

mit v ′ = v. Dann ist für kleine ɛ > 0 der Abstand zwischen exp p((t0 + ɛ)v) und 

exp p((t0 −ɛ)v ′ ) kleiner als 2ɛ. Sonst wäre der stückweise glatte Weg von exp p((t0 −ɛ)v ′ ) 

nach exp p((t0 + ɛ)v), der aus zwei Teilstücken der beiden Geodäten t ↦→ exp p(tv) 

und t ↦→ exp p(tv ′ ) zusammengesetzt ist eine Kürzeste, und damit eine Geodäte, im 

Widerspruch zu der Annahme v = v ′ . Also folgt für alle ɛ > 0 auch (t0 + ɛ) ≥ s(v). 

Dann gilt auch s(v) ≤ t0. q.e.d. 

Korollar 4.38. Ist q Schnittpuntk von p längs der Geodäten γ, dann ist auch p Schnittpunkt 

von q längs der umgekehrt durchlaufenen Geodäten. q.e.d. 

Beispiel 4.39. (i) Im R n ist der Schnittort leer, also ist die Exponentialabbildung 

exp p für alle p ∈ R n ein lokal Diffeomorphismus. Sie ist sogar global ein Diffeomorphismus.


(ii) Für den hyperbolischen Raum ist der Schnittort auch leer, und für alle p ∈ H n die 

Exponentialabbildung ein globaler Diffeomorphismus. 

(iii) Für die Sphäre S n besteht für alle p ∈ S n der Schnittort nur aus der Antipode 

von p mit Abstand π. Also wird für alle p ∈ S n die Sphähre ∂B(0, π) ⊂ TpS n auf 

einen Punkt, nämlich die Antipode von p abgebildet. 

Lemma 4.40. Die Schnittortfunktion ist stetig. 

Beweis: Wir betrachten eine konvergente Folge (vn)n∈N in {w ∈ T M | |w| = 1} setzen 

tn = s(vn) für alle n ∈ N Der Grenzwert lim vn bezeichnen wir mit v∗. Wir müssen 

n→∞ 

s(v∗) = lim tn zeigen. 

n→∞ 

Wir zeigen zunächst lim sup tn ≤ t∗ = s(v∗). Wenn t∗ = ∞ ist, ist die Ungleichung 

immer erfüllt. Sei ɛ > 0. Wenn tn > t∗ + ɛ gilt, dann ist 

d(π(vn), exp π(vn)((t∗ + ɛ)vn)) = t∗ + ɛ. 

Wenn es unendlich viele n ∈ N mit tn > t∗ + ɛ gibt, dann folgt 

d(π(v∗), exp π(v∗)((t∗ + ɛ)v∗)) = t∗ + ɛ. 

was der Definition t∗ = s(v∗) widerspricht. Also gibt es höchstens endlich viele n ∈ N 

mit tn > t∗ + ɛ. Weil das für alle ɛ > 0 gilt, folgt lim sup tn ≤ t∗. 

Als zweites zeigen wir lim inf tn ≥ t∗. Jetzt können wir lim inf tn < ∞ annehmen, 

weil sonst die Ungleichung immer erfüllt ist. Indem wir zu einer Teilfolge übergehen, 

können wir lim tn = t0 = lim inf tn annehmen. Sind unendliche viele t = tn längs der 

n→∞ 

Geodäten t ↦→ expπ(vn)(tvn) zu t = 0 konjugiert, dann sind die Ableitungen der Exponentialabbildungen 

expπ(vn) an den Stellen tnvn nicht invertierbar. Weil die Ableitung 

der Exponentialabbildung stetig ist, ist dann auch die Ableitung der Exponentialabbildung 

expπ(v∗) im Punkt t0v∗ nicht invertierbar. Also ist dann expπ(v∗)(t0v∗) längs der 

Geodäten t ↦→ expπ(v∗)(tv∗) zu π(v∗) konjugiert, so dass dann t0 ≥ t∗ = s(v∗) folgt. 

Deshalb können wieder durch Übergang zu einer Teilfolge annehmen, dass keines 

der tn zu 0 längs der Geodäten t ↦→ expπ(vn)(tvn) konjugiert ist. Daher gibt es eine 

Folge (wn)n∈N, die für alle n ∈ N folgendes erfüllt: 

wn ∈ Tπ(vn)M \ {vn} mit |wn| = 1 und exp π(vn)(tnwn) = exp π(vn)(tnvn). 

Durch Übergang zu einer Teilfolge können wir erreichen, dass (wn)n∈N gegen w∗ konvergiert. 

Wenn w∗ = v∗, dann ist wegen der Stetigkeit der Exponentialbbildung 

exp π(v∗)(t0w∗) = exp π(v∗)(t0v∗).


Aus dem vorangehenden Satz folgt dann t0 ≥ t∗ = s(v∗). Wenn w∗ = v∗ folgt wieder 

wie in Beweis von (ii) des vorangehenden Satzes, dass die Ableitung der Exponentialabbildung 

exp π(v∗) bei t0v∗ nicht invertierbar ist, also 

t0 ≥ t∗ = s(v∗) 

gilt. Also sind alle Häufungspunkte der Folge (tn)n∈N gleich t∗ = s(v∗). Dann folgt 

lim 

n→∞ tn = t∗ = s(v∗). q.e.d. 

Korollar 4.41. Der Schnittort Cut(p) ist abgeschlossen. 

Beweis: Sei (vn)n∈N eine Folge in {w ∈ TpM | |w| = 1}, so dass exp π(vn)(s(vn)vn) in 

M gegen q konvergiert. Durch Übergang zu einer Teilfolge können wir erreichen, dass 

(vn)n∈N gegen einen Grenzwert v konvergiert. Offenbar ist lim sup |s(vn)| beschränkt 

durch d(π(v), q). Wegen der Stetigkeit von s konvergiert dann auch (s(vn)n∈N und der 

Grenzwert ist gleich s(v). Dann gehört auch 

q = lim 

n→∞ exp π(vn)(s(vn)vn) 

zu Cut(p). q.e.d. 

Korollar 4.42. Ist M vollständig und zusammenhängend und für ein p ∈ M die 

Schnittortfunktion auf {w ∈ TpM | |w| = 1} beschränkt, dann ist M kompakt. 

Beweis: Das Bild von 

 

w 

w ∈ TpM | |w| ≤ s 

|w| 

unter der Exponentialabbildung exp p ist wegen dem Satz von Hopf Rinow gleich M. 

Wenn s auf 

{w ∈ TpM | |w| = 1} 

beschränkt ist, ist diese Menge kompakt. Das Bild einer kompakten Menge unter einer 

stetigen Abbildung ist kompakt. q.e.d. 

Wir haben sogar gezeigt, dass für alle p ∈ M die Exponentialabbildung exp p innerhalb 

des Schnittortes ein Diffeomorphismus auf M \ Cut(p) ist: 

Korollar 4.43. Sei (M, g) vollständig und zusammenhängend. Für ein p ∈ M definieren 

wir 

 

 

 

 

v 

v 

Up = v ∈ TpM | |v| < s und Ūp = v ∈ TpM | |v| ≤ s 

|v| 

|v| 

Dann gilt


(i) U ist offen und sternförmig bezüglich 0, also diffeomorph zu einer offenen Kugel 

und wird durch exp p diffeomorph auf M \ Cut(p) abgebildet. 

(ii) exp p[ Ūp] = M. q.e.d. 

Satz 4.44. Sei (M, g) vollständig und zusammenhängend und p ∈ M. Sei q ∈ Cut(p) 

mit 

d(p, q) = inf{d(p, r) | r ∈ Cut(r)}. 

Dann gilt eine von den beiden folgenden Bedingungen: 

(a) q ist zu p längs einer Kürzesten von p nach q konjugiert. 

(b) Es gibt genau zwei nach Bogenlängen parametrisierte Kürzeste γ1, γ2 : [0, b] → M 

von p nach q, so dass ˙γ1(b)+ ˙γ2(b) = 0 gilt, d.h. γ1 und γ2 bilden eine geodätische 

Schleife von p nach p. 

Wir bemerken, dass wegen der Abgeschlossenheit von Cut(p) die Menge {d(p, r) | 

r ∈ Cut(p)} ein Minimum besitzt, so dass für jeden Punkt p in einer vollständigen 

zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeit M, ein q mit den gewünschten 

Eigenschaften existiert. 

Beweis: Wegen Satz 4.37 gibt es, wenn (a) nicht erfüllt ist, zwei nach Bogenlänge 

parametrisierte Kürzeste γ1 und γ2 von p nach q der Länge b > 0. Wenn ˙γ1(b)+ ˙γ2(b) = 

0, dann gibt es ein w ∈ TqM mit g(w, ˙γ1(b)) < 0 und g(w, ˙γ2(b)) < 0. Wir wählen eine 

Kurve 6 : (−ɛ, ɛ) → M mit 

σ(0) = q und ˙σ(0) = w. 

Weil (a) nicht erfüllt ist, ist die Exponentialabbildung lokal bei ˙γ10 ˙γ20 

und ein Diffeo- 

b b 

morphismus. Also ist σ das Bild von zwei Kurven σ1 und σ2 in TpM unter expp. Aus 

der Variation der Länge von Geodätischen folgt, dass es ein τ ∈ (0, ɛ) gibt, so dass 

auch σ(τ) durch zwei Geodätische erreicht werden kann mit einer Länge die kürzer ist 

als b. Das steht im Widerspruch zu 

d(p, q) = inf{d(p, t) | r ∈ Cut(p)}. q.e.d.

Riemannsche Geometrie FS 07 - Lehrstuhl für Mathematik III

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