Riemannsche Geometrie FS 07 - Lehrstuhl für Mathematik III

4.2. GEODÄTEN 47
4.2 Geodäten
Wir definieren die Beschleunigung einer Kurve γ : I → M als ¨γ = d2 γ
dt 2 oder in lokalen
Koordinaten
¨γ = d2γk dt2 ∂k + dγi dγ
dt
j
dt Γkij∂k = 0
Definition 4.4. Eine Kurve γ : I → M von einerm offenen Intervall nach M heißt
Geodäte, wenn ¨γ = 0. Dann gilt auch
Also ist die Geschwindigkeit konstant.
d
g( ˙γ, ˙γ) = 2g(¨γ, ˙g) = 0.
dt
In diesem Abschnitt werden wir die lokale Existenz und Eindeutigkeit von Geodäten
beweisen. Die Geodätengleichung ¨γ = 0 können wir umschreiben zu
d2γk dγ
= −dγi
dt2 dt
j
dt Γkij für k = 1, . . . , n = dimM.
Das ist ein gewöhnliches Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung. Aus dem Satz
von Picard-Lindelöff folgt Satz (Lokale Existenz und Eindeutigkeit von Geodäten). Sei
(M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann gibt es für jedes p ∈ M und v ∈ TpM
eine Umgebung V ⊂ T M von v und ein ɛ > 0, so dass es für alle w ∈ V genau eine
Lösung der Differentialgleichung d2γ dt2 = 0 auf dem Intervall (−ɛ, ɛ) gibt mit γ(0) = π(w)
und ˙γ(0) = w. q.e.d.
Wegen der Translationsinvarianz des Ableitung ist die Geodätengleichung translationsinvariant,
d.h. die Abbildung t ↦→ γ(t) erfüllt genau dann ¨γ = 0, wenn die
Abbildung t → γ(t + s) mit s ∈ R die Gleichung ¨γ = 0 erfüllt. Deshalb stimmt für
jede Lösung γ : (−ɛ, ɛ) → M für jedes s ∈ (−ɛ, ɛ) die Abbildung t ↦→ γ(t + s) mit
der entsprechenden Lösung mit Anfangswerten γ(0 + s) = γ(s) und ˙γ(0 + s) = ˙γ(s)
überein. Deshalb können wir durch geeignete Translationen verschiedene Lösungen zu
einer Lösung mit größerem Definitionsbereich zusammenkleben. Insbesondere können
wir durch Lösungen des Definitionsbereiches unterschiedliche Karten zu einer Lösung
verkleben. Wegen der Translationsinvarianz und der lokalen Eindeutigkeit gibt es für
jedes p ∈ M und jedes v ∈ M ein maximales offenes Intervall I und eine Lösung des
Anfangswertproblems
γ : I → M, mit γ(0) = p und ˙γ(0) = v
so dass alle Lösungen durch Einschränkung aus dieser Lösung hervorgehen. Aus der
Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichung ist bekannt, dass solche maximalen
Lösungen am Rand nur aus drei Gründen nicht fortgesetzt werden können.