Riemannsche Geometrie FS 07 - Lehrstuhl für Mathematik III

Kapitel 2
Die Krümmung
2.1 Der Krümmungstensor
Im Gegensatz zur Richtungsableitung in R n , die der kovarianten Ableitung von der
euklidischen Metrik entspricht, vertauschen die höheren Ableitungen eines affinen Zusammenhanges
nicht. Wir können aber einen Tensor angeben, der den Defekt misst,
also genau dann verschwindet, wenn die höheren Ableitungen vertauschen. Dieser Tensor
heißt Krümmungstensor.
Lemma 2.1. Seien X, Y, Z Vektorfelder auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
mit affinem Zusammenhang ∇. Dann hängen die beiden Tensoren
(i) R(X, Y )Z = ∇ 2 X,Y Z − ∇2 Y,X Z = ∇X∇Y Z − ∇[X,Y ]Z
(ii) T (X, Y ) = ∇XY − ∇Y X − [X, Y ]
nur von den Werten der Vektorfelder X, Y,(und Z) an der jeweiligen Stelle ab.
Beweis:
(i) Wegen der Eigenschaft (i) eines affinen Zusammenhang hängt R(X, Y )Z nur von
den Werten der Vektorfelder X und Y am jeweiligen Punkt ab. Also genügt es
die Aussage für das Vektorfeld Z zu zeigen. Offenbar genügt es zu zeigen, dass
für alle glatten Funktionen f gilt:
R(X, Y )fZ = fR(X, Y )Z.
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