Riemannsche Geometrie FS 07 - Lehrstuhl für Mathematik III

3.1. HYPERFLÄCHEN 37
Beweis: Die Gauß’sche Formel liefert
Genauso erhält man
∇ N X(∇ N Y Z) = ∇ N X((∇ N Y Z) ⊤ + (∇ N Y Z) ⊥ )
= ∇ N X∇ M Y Z + ∇ N XS(Y, Z)
= ∇ M X ∇ M Y Z + S(X, ∇ M Y Z) + ∇ N XS(Y, Z)
(1) ∇N Y (∇NX Z) = ∇MY ∇MX Z + S(Y, ∇MX Z) + ∇NY S(X, Z)
(2) ∇N [X,Y ] Z = ∇M [X,Y ] Z + S([X, Y ], Z)
(4)
Substituiere die Gleichungen (1), (1’) und (2) in die Formel RN (X, Y )Z = ∇N X∇NY Z−
∇N Y ∇NX Z − ∇N [X,Y ] Z und erhalte
Dann ist
R N (X, Y, Z) = ∇ M X ∇ M Y Z + S(X, ∇ M Y Z) + ∇ N XS(Y, Z)
= ∇ M Y ∇ M X Z − S(Y, ∇ M X Z) − ∇ N Y S(X, Z)
= ∇ M [X,Y ]Z − S([X, Y ], Z)
R N (X, Y, Z, W ) = R M (X, Y, Z, W )+h(∇ N XS(Y, Z)−∇ N Y S(X, Z), W ). (3)
leiten wir H(S(Y, Z)W ) = 0 in Richtung X ab, so erhalten wir
0 = Xh(S(Y, Z), W ) = h(∇ N XS(Y, Z), W ) + h(S(Y, Z), ∇ N XW )
= h(∇ N XS(Y, Z), W ) + h(S(Y, Z), ∇ M X W + S(X, W ))
= h(∇ N XS(Y, Z), W ) + h(S(Y, Z), S(X, W ))
mit der Gauß’schen Formel, und da ∇M X W ⊥ S(Y, Z).
Die Behauptung folgt nun indem wir (4) und die analoge Gleichung mit X und Y
vertauscht in (3) substituieren. q.e.d.
Im Folgenden sei nun M eine Untermannigfaltigkeit von N mit Kodimension Eins,
und G : M → Sn die Gaußabbildung. Sind X, Y Vektorfelder auf M, dann folgt aus
h(G, G) = 1 durch Ableiten
Xh(G, G) = 2h(∇ N XG, G) = 0
⇒ ∇ N XG ⊥ G