Riemannsche Geometrie FS 07 - Lehrstuhl für Mathematik III

4.3. DIE METRIK EINER RIEMANNSCHEN MANNIGFALTIGKEIT 49
Definition 4.7. Sei γ : [a, b] → M ein stetig differenzierbarer Weg in einer Riemannschen
Mannigfaltigkeit (M, g). Dann ist die Länge von γ definiert als
l(γ) =
b
a
| ˙γ(t)|dt =
b
a
g( ˙γ(t), ˙γ(t))dt.
Weil γ stetig differenzierbar ist, ist t ↦→ | ˙γ(t)| auf t ∈ [a, b] stetig und damit auch
integrabel. Außerdem ist die Länge reparametrisierungsinvariant, d.h. für jede stetige
differenzierbare bijektive Abbildung ϕ : [c, d] → [a, b], mit ϕ(c) = a und ϕ(d) = b folgt
aus der Kettenregel
l(γ ◦ ϕ) =
d
c
| ˙γ(ϕ(t))|dt =
b
a
| ˙γ(t)|dt = l(γ).
Das gilt aber nicht mehr, wenn ϕ nicht injektiv ist, weil dann alle mehrfach durchlaufenen
Wegstücke von γ mehrfach zur Weglänge von γ ◦ϕ beitragen. Offenbar kann man
jeden Weg so umparametrisieren, dass der Parameter gerade die Bogenlänge des schon
durchlaufenen Weges ist. Setzen wir
s = ϕ(t) =
t
a
| ˙γ(τ)|dτ,
dann ist ϕ offenbar eine stetig differenzierbare bijektive Abbildung
ϕ : [a, b] → [0, l(γ)].
Und γ◦ϕ −1 ist ein durch Bogenlänge parametrisierter Weg. Wenn allerdings | ˙γ(t)| Nullstellen
hat, dann ist ϕ −1 nicht notwendigerweise stetig differenzierbar. Weil eine offene
Teilmenge des R n genau dann zusammenhängend ist, wenn sie wegzusammenhängend
ist, sind die Wegzusammenhangskomponenten einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
auch zusammenhängend. Umgekehrt ist eine zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeit
auch wegzusammenhängend.
Definition 4.8. Sei (M, g) eine zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit.
Dann definieren wir für alle Paare p, q ∈ M den Abstand d(p, q) als das Infimum der
Längen aller glatten Wege von p nach q.
Offenbar ist d symmetrisch und erfüllt die Dreiecksungleichung d(p, r) ≤ d(p, q) +
d(q, r) für alle p, q, r ∈ M. Das Infimum lässt sich nicht immer durch einen Weg realisieren.
So lassen sich z.B. die beiden Punkte (−1, 0) und (1, 0) in R 2 \ {(0, 0)} zusammen
mit der euklidischen Metrik nicht durch einen Weg der Länge 2 verbinden. Der Abstand
ist aber wie in R 2 gleich 2.