Riemannsche Geometrie FS 07 - Lehrstuhl für Mathematik III

Inhaltsverzeichnis
1 Riemannsche Mannigfaltigkeiten 5
1.1 Riemannsche Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Rahmenbündel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Die kovariante Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Lie Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Der Zusammenhang in lokalen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Die Krümmung 23
2.1 Der Krümmungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Schnittkrümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Ricci-Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Die skalare Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Hyperflächen 35
3.1 Hyperflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 Mannigfaltigkeiten als metrische Räume 43
4.1 Zweite Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Geodäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Die Metrik einer Riemannschen Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . 48
4.4 Die Exponentialabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5 Geodätische und Kürzeste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.6 Der Satz von Hopf Rinow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.7 Krümmung und Jacobifelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.8 Die zweite Variation und der Satz von Jacobi . . . . . . . . . . . . . . 63
4.9 Der Schnittort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
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