Riemannsche Geometrie FS 07 - Lehrstuhl für Mathematik III

4.4. DIE EXPONENTIALABBILDUNG 51
Definition 4.12. Ein stetig differenzierbarer Weg heißt Segiment, wenn die Länge des
Weges mit dem Abstand zwischen Anfangspunkt und Endpunkt übereinstimmt und er
durch die Bogenlänge parametrisiert ist.
4.4 Die Exponentialabbildung
Definition 4.13. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann sei für jedes
p ∈ M Op die Menge aller Tangentialvektoren v ∈ TpM, für die die Geodäte mit
γ(0) = p und ˙γ(0) = v auf dem Intervall [0, 1] existiert. Die Vereinigung aller dieser
Mengen 0 = ∪p∈MOp bildet eine Teilmenge von T M. Dann ist die Exponentialabbildung
im Punkt p ∈ M definiert als expp : Op → M, mit expp(v) = γv(1), wobei γv die
maximale Geodäte mit γv(0) = p und ˙γv(0) = v ist.
Satz 4.14. (i) Die Vereinigung 0 = ∪p∈MOp der Definitionsbereiche der Exponentialabbildung
ist eine offene Teilmenge von T M, die den Nullschnitt enthält.
(ii) Sei E die Abbildung
Dann ist E eine glatte Abbildung.
E : 0 → M × M, v ↦→ (π(v), exp(v))
(iii) Für jedes p ∈ M gibt es eine offene Umgebung der 0 ∈ TpM in Op, so dass
die Einschränkung von expp auf diese Umgebung ein Diffeomorphismus auf eine
offene Umgebung von p ist.
(iv) Es gibt eine offene Umgebung des Nullschnittes von T M in 0, so dass die Einschränkung
von E auf diese offene Umgebung ein Diffeomorphismus auf eine
offene Umgebung der Diagonalen in M × M ist.
Beweis: Wenn γ : (−ɛ, ɛ) → M eine Geodäte in M ist mit γ(0) = p und ˙γ(0) = v,
dann ist für alle λ > 0 die Kurve
γλ : (− ɛ
) → M, t ↦→ γ(λt)
λ
eine Geodäte mit γ(0) = p und ˙γ(0) = λv. Deshalb folgt aus der lokalen Existenz und
Eindeutigkeit von Geodäten, dass die expp für alle p ∈ M auf einer Umgebung von
0 ∈ TpM definiert ist. Und es folgt auch, dass für alle p ∈ M Op eine offene Teilmenge
von TpM ist. Für eine gwöhnliche Differentialgleichung mit glatten Koeffizientenfunktionen
hängen die eindeutigen Lösungen der entsprechenden Anfangswertprobleme