Riemannsche Geometrie FS 07 - Lehrstuhl für Mathematik III

2.1. DER KRÜMMUNGSTENSOR 25
(iv) Die kovariante Ableitung von R verhält sich unter zyklischem Vertauschen folgendermaßen
(zweite Bianchiidentität):
(∇ZR)(X, Y )W + (∇XR)(Y, Z)W + (∇Y R)(Z, X)W = 0.
Beweis: (i)] Die erste Eigenschaft folgt aus
R(X, Y )Z = ∇X∇Y Z − ∇Y ∇XZ − ∇[X,Y ]Z.
Um die zweite Eigenschaft zu zeigen berechnen wir
g(R(X, Y )Z, Z) = g(∇X∇Y Z, Z) − g(∇Y ∇XZ, Z) − g(∇[X,Y ]Z, Z)
DXg(∇Y Z, Z) − g(∇Y Z, ∇XZ)
−DY g(∇XZ, Z) + g(∇XZ, ∇Y Z) − 1
2 D[X,Y ]g(Z, Z)
= 1
2 DXDY (Z, Z) − 1
2 DY DXg(Z, Z) − 1
2 D[X,Y ]g(Z, Z).
Weil [X, Y ] dadurch definiert ist, dass D[X,Y ] = DXDY −DY DX gilt, folgt g(R(X, Y )Z, Z) =
0. Dann folgt
0 = g(R(X, Y )Z + W, Z + W ) − g(R(X, Y )Z − W, Z − W )
= 2g(R(X, Y )Z, W ) + 2g(R(X, Y )W, Z).
(iii) Im Folgenden bezeichnen wir mit S die Summe über die zyklischen Permutationen
in 3 Vektorfeldern
ST (X, Y, Z) = T (X, Y, Z) + T (Z, X, Y ) + T (Y, Z, X).
Dann gilt wegen der Torsionfreiheit:
SR(X, Y )Z = S∇X∇Y Z − S∇Y ∇XZ − S∇[X,Y ]Z
= S∇Z∇XY − S∇Z∇Y X − ∇[X,Y ]Z
= S∇Z(∇XY − ∇Y X) − S∇[X,Y ]Z
= S∇Z[X, Y ] − S∇[X,Y ]Z
= S[Z[X, Y ]] = 0.
Die letzte Gleichung ist die Jacobiidentität des Kommutators von Vektorfeldern.