Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen Hier stehen einige ...

Für die Anwendung der Kettenregel machen wir eine Nebenrechnung, in der die Funktion
A(h) aufgespalten wird in eine Funktion A (g(h)). Dann ist A(g) die äußere und g(h)
die innere Funktion.
g(h) = 900 cm 2 · h 2 − 4h 4 ⇒ g ′ (h) = 1800 cm 2 · h 1 − 16h 3
A(g) = 1
2
g 1
2 ⇒ A ′ (g) = 1
2
A ′ (g) = 1
4
· 1
2
· g− 1
2
· g 1
2 −1
A ′ (g) = 1
4 · (900 cm2 · h 2 − 4h 4 )
Mit diesen Nebenrechnungen können wir die Kettenregel anwenden:
A ′ (h) = g ′ (h) · A ′ (g)
A ′ (h) = 1800 cm 2 · h − 16h 3
·
innere Ableitung
1 2 2 4
900 cm · h − 4h
4
− 1
2
äußere Ableitung
A ′ (h) = 1800 cm2 · h − 16h 3
4 √ 900 cm 2 · h 2 − 4h 4
0 = 1800 cm2 · h − 16h 3
4 √ 900 cm2 · h2 − 4h4 0 = 1800 cm 2 · h − 16h 3
| · 4 √ 900 cm 2 · h 2 − 4h 4
0 = h 1800 cm 2 − 16h 2 ⇒ hE1 = 0 (entfällt)
0 = 1800 cm 2 − 16h 2
0 = 112, 5 cm 2 − h 2
h 2 = 112, 5 cm 2
| √
| : 16
| + h 2
h2/3 = ± 112, 5 cm ≈ ±10, 6066 cm
Der negative Wert entfällt ebenso, wie zuvor schon hE1 = 0. Es bleibt also nur:
hE = 112, 5 cm ≈ 10, 6066 cm
Es muss geprüft werden, ob tatsächlich ein Maximum vorliegt. Da die Bestimmung
der zweiten Ableitung recht mühsam ist, möchte ich für die Prüfung das Verfahren
verwenden, das mit der ersten Ableitung auskommt. Ich setze die Werte 10 cm und
11 cm in die erste Ableitung ein um zu prüfen, ob ein Vorzeichenwechsel von positiv zu
negativ vorliegt.
12
1
− 2