Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen Hier stehen einige ...

4 Lösungen mit Lösungsweg
4.1 Aufgabe 1
Eine zylinderförmige Konservendose mit dem Volumen V soll aus Weißblech hergestellt
werden. Dabei soll der Blechverbrauch möglichst gering sein. Bestimmen Sie die Höhe h
und den Durchmesser d der Dose.
Lösung: Der ” Blechverbrauch“ soll optimiert werden. Das ist die Oberfläche der Dose,
also Mantel + Deckel + Boden. Damit erhalten wir die Hauptbedingung:
A = π · d · h + 2 · π
· d2
4
Die Hauptbedingung enthält 2 Variablen (d und h). Deshalb benötigen wir noch genau
eine Nebenbedingung. Diese erhalten wir mit Hilfe des bekannten Volumens V :
V = π
4 · d2 · h
Wir müssen die Nebenbedingung nach d oder h umstellen und in die Hauptbedingung
einsetzen. Da sie sich einfacher nach h als nach d umstellen lässt, tun wir das.
V = π
4 · d2 · h | · 4
4V = π · d 2 · h | : (π · d 2 )
4V
= h
π · d2 Eingesetzt in die Hauptbedingung erhalten wir A als eine Funktion von d.
A(d) = π · d · 4V π
+ 2 · · d2
π · d2 4
A(d) = 4V
d
π
+ · d2
2
A(d) = 4V · d −1 + π
· d2
2
A ′ (d) = −4V · d −2 + 2 · π
A ′ (d) = −4V · d −2 + π · d
A ′ (d) = − 4V
d2 + π · d
· d
2
Notwendige Bedingung für das Auftreten eines Extremwertes ist, dass die erste Ableitung
gleich 0 ist.
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