Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen Hier stehen einige ...

4.4 Aufgabe 4
In eine Kugel mit dem Durchmesser D soll ein möglichst großer Zylinder einbeschrieben
werden. Bestimmen Sie den Durchmasser d und die Höhe h des Zylinders.
Lösung: Da das Zylindervolumen maximal werden soll, ergibt die Formel für das Zylindervolumen
die Hauptbedingung:
V = π
4 · d2 · h
Wir haben zwei Variablen, benötigen also genau eine Nebenbedingung.
Diese können wir am besten erkennen, wenn man sich
eine Skizze von der Seitenansicht anfertigt. Wir erhalten einen
Kreis (die Kugel) mit dem Durchmesser D und darin ein Rechteck
(Seitenansicht des Zylinders) mit den Seiten h und d. Zeichnet
man den Kugeldurchmesser als Diagonale in das Rechteck
ein, dann erhält man zwei rechtwinklige Dreiecke. Mit Hilfe des
Satzes des Pythagoras erhält man als Zusammenhang zwischen
D, d und h die Nebenbedingung:
D 2 = d 2 + h 2
Ob man nun diese Nebenbedingung nach d oder h umstellt, ist im Prinzip gleichgültig.
Da aber in der Hauptbedingung nur d 2 (nicht d) vorkommt, ist es sehr pfiffig, die Nebenbedingung
nur nach d 2 umzustellen.
d 2 = D 2 − h 2
16
h
D
d