Funktionentheorie I

Damit folgt:
0 ≤ d(w) ≤
∞
n=1
|an||pn(w)| (∗∗)
≤
N
|an||pn(w)| +
n=1
∞
n=N+1
2n|an|r n−1
1.1 Grundlegendes
(∗)
≤ N max{|a1||p1(w)|, · · · , |an||pn(w)|} + 2ε → 2ε (w → z) (N = Nε fest!)
=⇒ lim
w→z d(w) ≤ 2ε. Da ε > 0 beliebig war, folgt lim
w→z d(w) = 0.
Beispiele mit ρ = ∞.
∞ z
(a) exp(z) :=
n
n! , exp′ ∞ z
(z) =
n−1
= exp(z).
(n − 1)!
(b) sin(z) =
n=0
∞
n=0
∞ (−1)
(c) cos(z) =
n=0
n
(2n)! z2n ,
cos ′ ∞
(z) =
n=1
n=1
(−1) n
(2n + 1)! z2n+1 , sin ′ (z) =
(−1) n
(2n − 1)! z2n−1 l=n−1
=
∞
l=0
∞
n=0
(−1) n
(2n)! z2n = cos(z).
(−1) l+1
(2l + 1)! z2l+1 = − sin(z).
Seien f : D → C, z0 ∈ D, z ∈ D. Setze wieder u = Re f, v = Im f, x0 = Re z0, y0 = Im z0, also
f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) =
u(x, y)
.
v(x, y)
Sei z = z0 und f bei z0 komplex differenzierbar. Dann gilt:
1
|z − z0| |f(z) − f(z0) − f ′
(z0)(z − z0)| =
f(z) − f(z0)
z − z0
− f ′
(z0)
−→ 0, z → z0.
Die Zahl f ′ (z0) ∈ C kann als C-lineare Abbildung w ↦→ f ′ (z0)w aufgefasst werden. Diese ist dann
auch R-linear auf R 2 , kann also durch eine reelle 2×2-Matrix dargestellt werden. Nach Analysis 2
ist nun f in z0 = (x, y) reell differenzierbar und somit existieren die partiellen Ableitungen von
u und v und es gilt
f ′ (x0, y0) =
∂u
∂x (x0, ∂u y0) ∂y (x0, y0)
∂v
∂x (x0, ∂v y0) ∂y (x0, y0)
Satz 1.4. Sei f : D → C, z0 = x0 + iy0 ∈ D. Dann sind äquivalent:
(a) f ist in z0 komplex differenzierbar.
. (+)
(b) f ist in z0 reell differenzierbar und es gelten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen
∂u
∂x (x0, y0) = ∂v
∂y (x0,
∂u
y0),
∂y (x0, y0) = − ∂v
∂x (x0, y0). (CR)
Insbesondere ist f ′ (z0) schiefsymmetrisch.
Beweis. Die letzte Behauptung folgt aus (+) und (CR)2.
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