Funktionentheorie I

3 Isolierte Singularitäten
3.1 Klassifikation und Laurentreihe
Definition 3.1.
Beispiel 3.2.
Theorem 3.3.
Beispiel 3.4.
Theorem 3.5.
Bemerkung. (a) Man kann in Theorem 3.5 auf die Voraussetzung des Zusammenhangs
verzichten.
(b) todo
Zusatz zu Theorem 3.5: Wenn f : D → f(D) biholomorph, dann gilt nach Satz 1.8(a):
f ′ (z) = 0 (∀z ∈ D),
f −1 ′ (w) =
1
f ′f −1 (w ∈ f(D)).
(w)
Seien an ∈ C (n ∈ Z) und z0 ∈ C gegeben. Wir sagen, dass die Laurentreihe
∞
n=−∞
an(z − z0) n
für ein z ∈ C konvergiert, wenn ihr regulärer Anteil
und ihr singulärer Anteil
∞
an(z − z0) n
n=0
∞
a−n(z − z0) −n
n=1
konvergiert. Die Laurentreihe ist dann die Summe der beiden Anteile. Entsprechend definiert
man absolute beziehungsweise gleichmäßige Konvergenz auf Kompakta.
Theorem 3.6 (Laurent). Seien f ∈ H(D), z0 ∈ C, R > 0 mit D0 = B(z0, R) \ {z0} ⊆ D. Für
ρ ∈ (0, R), setze Kρ = ∂B(z0, ρ) und
an = 1
2πi Kρ
f(w)
dw, n ∈ Z (3.1)
w − z0) n+1
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