Funktionentheorie I

2.3 Weitere Hauptsätze über holomorphe Funktionen
Sei r > 0, z0 ∈ D mit B(z0, 2r) ⊆ D. Sei z ∈ B(z0, r). Dann gilt B(z, r) ⊆ B(z0, 2r). Da
f − fn ∈ H(D), folgt mit (2.7), dass
max
z∈B(z0,r)
f (j) (z) − f (j)
n (z) ≤ max
also f (j)
n → f (j) auf B(z0, r) (n → ∞, j ∈ N).
max
z∈B(z0,r) |w−z|=r
j!
|f(w) − fn(w)|
rj ≤ j!
rj max |f(w) − fn(w)|
|w−z|≤2r
−→ 0 (n → ∞) nach Voraussetzung, (∗)
Sei K ⊆ D kompakt. Dann gibt es für jedes z0 ∈ K ein r(z0) > 0 mit B(z0, 2r(z0)) ⊆ D, da D
offen. Klar:
K ⊆
B(z0, r(z0)).
z0∈K
Da K kompakt ist, existieren endlich viele z1, . . . , zm ∈ K und r1, . . . , rm > 0 mit B(zk, 2rk) ⊆ D
(k = 1, . . . , m) und K ⊆ B(z1, r1) ∪ · · · ∪ B(zm, rm). (∗) angewandt auf B(zk, rk) liefert die
Behauptung.
2.3 Weitere Hauptsätze über holomorphe Funktionen
Theorem 2.35 (Identitätssatz). Sei D ⊆ C ein Gebiet und f ∈ H(D). Dann sind äquivalent:
(a) f = 0 auf D.
(b) Es gibt ein z0 ∈ D mit f (m) (z0) = 0 für alle m ∈ N.
(c) N = {z ∈ D | f(z) = 0} hat einen Häufungspunkt z0 ∈ N, d.h. es gibt eine Folge
zn ∈ D \ {z0} (n ∈ N) mit zn → z0 und zn ∈ N.
Somit sind zwei Funktionen g, h ∈ H(D) schon gleich, sobald g(zn) = h(zn) auf einer Folge
zn → z0 mit zn, z0 ∈ D und zn = z0 (n ∈ N) oder sobald für ein z0 ∈ D gilt: g (m) (z0) = h (m) (z0)
für alle m ∈ N0. Insbesondere sind die Koeffizienten einer Potenzreihe eindeutig bestimmt.
Bemerkung. Der Satz ist falsch, wenn D nicht zusammenhängend ist.
Beweis. Die letzte Behauptung folgt mit f = g − h aus „(c)⇒(a)“ bzw. „(b)⇒(a)“.
a) ⇒ c): klar.
c) ⇒ b): Seien zn, z0 ∈ D, zn = z0, f(zn) = 0 (∀n ∈ N), zn → z0 (n → ∞). Dann ist
f(z0) = 0.
Annahme: Es gibt ein m ∈ N mit f(z0) = f ′ (z0) = · · · = f (m−1) (z0) = 0 und f (m) (z0) = 0.
Theorem 2.25 liefert ein r > 0 mit
f(z) =
wobei am = 0. Damit:
g(z) := (z − z0) −m f(z) =
∞
k=m
f (k) (z0)
(z − z0)
k!
=:an
k
∞
k=m
ak(z − z0) k−m l=k−m
=
(∀z ∈ B(z0, r) ⊆ D),
∞
l=0
al+m(z − z0) l
(z ∈ B(z0, r)).
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