Funktionentheorie I

2 Der Integralsatz von Cauchy
2.1 Das komplexe Kurvenintegral
Sei f : [a, b] → C stückweise stetig (d.h. für alle t ∈ [a, b] existieren die rechts- und linksseitigen
Grenzwerte und diese sind bis auf endlich viele tk ∈ [a, b] (k = 1, . . . , m) gleich.
f hat endlich viele (oder keine) Sprungstellen.
=⇒ Re f, v = Im f sind beschränkt und messbar.
b b
b
=⇒ ∃ f(t) dt = f dt := Re f(t) dt + i Im f(t) dt.
a
b
Setze f1 = |f(t)| dt.
a
a
Eigenschaften: Es seien f, g : [a, b] → C stückweise stetig, c ∈ R, α, β ∈ C. Dann gelten die
folgenden Aussagen (vgl. Analysis 3):
b b
b b
b b
(a) Re f(t) dt = Re f(t) dt, Im f(t) dt = Im f(t) dt, f(t) dt = f(t) dt
a
a
(folgt direkt aus der Definition)
b
(b)
f(t) dt
≤
b
|f(t)| dt ≤ (b − a)f∞ (zum Beweis: setze h = e−iϕf) (c)
a
a
a
a
b
b
b c b b
(αf + βg)(t) dt = α f(t) dt + β g(t) dt, f(t) dt + f(t) dt = f(t) dt
a
a
Beweis. Für α = γ + iδ, g = 0, u = Re f, v = Im f folgt
b
b
b
αf(t) dt = (γu(t) − δv(t)) dt + i (δu(t) + γv(t)) dt
a
a
a
a
a
b b
b
b
= γ u(t) dt − δ v(t) dt + iδ u(t) dt + iγ v(t) dt
a
b
= (γ + iδ) (u(t) + iv(t)) dt
a
b
= α f(t) dt.
a
(d) Seien f, fn : [a, b] → C stückweise stetig, fn → f gleichmäßig (n → ∞). Dann gilt
a
b
b
f(t) dt − fn(t) dt
≤ (b − a)f − fn∞ → 0 (n → ∞).
a
a
a
a
c
a
a
a
a
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