Funktionentheorie I

2.1 Das komplexe Kurvenintegral
b) ⇒ a): Sei z0 ∈ D fest, z ∈ D beliebig. Nach Satz 2.8 gibt es einen Streckenzug Γ(z) ⊆ D
von z0 nach z. Setze
F (z) = f(w) dw.
Γ(z)
Wähle r > 0 mit B(z, r) ⊆ D. Sei 0 < |h| < r. Dann sind −Γ(z) + Γ(z + h) und −−−−−→
z(z + h)
Kurven in D von z nach z + h. Damit:
1 Bem. 2.5 1
F (z + h) − F (z) =
h
h
−Γ(z)+Γ(z+h)
=
1
0
b)
= 1
h
−−−−→
z(z+h)
f(z + th) dt →
f(w) dw
f(w) dw Def.
= 1
Beispiel 2.14. (a) Sei Γ ein Weg von z1 nach z2. Dann gilt
cos z dz = sin z2 − sin z1.
Γ
1
0
h
1
0
f(z + th)h dt
f(z) dt = f(z) (h → 0) (nach Satz 2.7).
(b) Sei ε ∈ (0, π) und Γε eine Kurve in Σπ von ei(−π+ε) nach ei(π−ε) . Dann gilt
dz
z = log ei(π−ε) − log e i(−π+ε) = i(π − ε) − i(−π + ε) = 2i(π − ε).
Ferner gilt
Γε
D
dz
z =
2π
0
ieit dt = 2πi = 0,
eit obwohl D eine geschlossene Kurve ist. Also besitzt die Funktion f(z) = 1
z keine Stammfunktion
auf dem Gebiet C \ {0}.
Definition 2.15. Sei Γ ⊆ C eine geschlossene Kurve und z ∈ C \ Γ. Dann heißt
n(Γ, z) = 1
dw
2πi w − z
Windungszahl (oder Index) von Γ bei z.
Bemerkung. Da Γ ⊆ B(0, r) für ein r > 0 ist, gibt es genau eine unbeschränkte Zusammenhangskomponente
von C \ Γ.
Satz 2.16. Seien Γ ⊆ C eine geschlossene Kurve und z ∈ D := C \ Γ. Dann gelten:
(a) n(Γ, z) ∈ Z.
(b) z ↦→ n(Γ, z) ist konstant auf jeder Zusammenhangskomponente von D.
(c) Es gilt n(Γ, z) = 0 für alle z in der unbeschränkten Zusammenhangskomponente von D.
(d) n(−Γ, z) = −n(Γ, z)
(e) Seien Γ1, Γ2 geschlossene Kurven mit Γ = Γ1 + Γ2, dann gilt
n(Γ, z) = n(Γ1, z) + n(Γ2, z).
Γ
33