Funktionentheorie I

Beweis. „⇐“: einsetzen! „⇒“: Für alle z ∈ D gilt:
(b) Für alle α ∈ C gilt mαA = mA.
mA(z) = z =⇒ cz 2 + (d − a)z − b = 0 (∀z ∈ DA)
=⇒ c = 0, d = a, b = 0 =⇒ A =
(c) Es gilt mA(mà (z)) = mAÃ(z) (soweit alles definiert).
Beweis. Für passende z:
(d) Es gilt: A −1 =
1.2 Elementare Funktionen
a 0
.
0 a
mA(mà (z)) = a ãz+˜b ˜cz+ ˜ + b
d
c ãz+˜b ˜cz+ ˜ d + d = (aã + b˜c)z + (a˜b + b ˜ d)
(cã + d˜c)z + (c˜b + d ˜ d) = mAÃ(z). 1
ad − bc
Man zeigt leicht, dass gilt:
d −b
. Damit folgt: DA−1 =
−c a
C \ a
c
, c = 0,
C, c = 0.
mA(DA) ⊆ D A −1, (∗)
m A −1(D A −1) ⊆ DA. (∗∗)
Also folgt aus c): mA(DA) = D A −1 (wende auf (∗∗) mA an), m A −1(D A −1) = DA (wende
auf (∗) m A −1 an) und (mA) −1 = m A −1.
Insbesondere sind mA : DA → D A −1, m A −1 : D A −1 → DA biholomorph.
(e) Sei c = 0 (also d = 0). Dann ist mA(z) = a b
dz + d eine affine Abbildung, also mA = T ◦ S
mit T w = w + d
a
d (Translation) und Sw = dw (Drehstreckung). Sei nun c = 0. Dann gilt
mA = A2 ◦ J ◦ A1, wobei A1w = cw + d, A2w = a ad−bc
1
c − c w (affin) und Jw = w (w = 0)
(Inversion).
Beweis. Es gilt
az + b a
=
cz + d c
− ad − bc
c
1
= A2(J(A1(z))).
cz + d
Fasse jede Gerade in C als verallgemeinerten Kreis über ∞ auf. Also ist ein verallgemeinerter
Kreis K entweder eine Gerade oder eine echte Kreislinie. Beachte: K wird durch die Angabe
dreier verschiedener Punkte in C∞ eindeutig bestimmt.
(f) Jede Möbiustransformation bildet einen verallgemeinerten Kreis bijektiv auf einen verallgemeinerten
Kreis ab.
Beweis. Nach 1.9(e) ist die Behauptung nur für Translationen T , Drehstreckungen S und
die Inversion J zu zeigen. Klar: T , S sind „verallgemeinert kreistreu“.
Zu J: Sei r > 0, z0 ∈ C. Dann:
z ∈ K := ∂B(z0, r) ⇐⇒ r 2 = |z − z0| 2 = (z − z0)(z − z0) = |z| 2 − z0z − z0z + |z0| 2 .
Damit:
K = {z ∈ C : α|z| 2 + cz + cz + δ = 0} (∗)
für feste α, δ ∈ R, c ∈ C mit |c| 2 > αδ, wobei z0 = − c
α , r2 = |c|2
α2 − δ
α , falls α = 0.
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