Funktionentheorie I

n = 6 :
Ferner: Für zn, z ∈ C sagen wir, dass zn −→ z (n → ∞), wenn
|z − zn| −→ 0 (1.1)
⇐⇒ Re zn −→ Re z und Im zn −→ Im z (n → ∞).
i
1
1.1 Grundlegendes
Somit haben R 2 und C den gleichen Konvergenzbegriff und außerdem die gleichen offenen und
abgeschlossenen Kugeln:
B(z0, r) :={z ∈ C : |z0 − z| < r},
B(z0, r) :={z ∈ C : |z0 − z| ≤ r}, (∀z0 ∈ C, r > 0).
x
Sei M ⊆ C. Betrachte z = x + iy ∈ M als z = mit x = Re z, y = Im z. Sei f : M → C.
y
Setze
u(x, y) = Re f(x, y), v(x, y) = Im f(x, y).
Also:
f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) =
u(x, y)
.
v(x, y)
Somit ist f : M → C genau dann stetig (d.h. zn → z (in M) =⇒ f(zn) → f(z)), wenn
u, v : M → R stetig sind.
Fazit: Konvergenz, Offenheit, Abgeschlossenheit, Kompaktheit, Stetigkeit, etc. sind in R 2 und
C gleich.
1.1.2 Komplexe Differenzierbarkeit
Stets sei D ⊆ C offen und nichtleer, das heißt:
∀z ∈ D ∃ r = r(z) > 0 mit B(z, r) ⊆ D =⇒ B(z, r
2 ) ⊆ D.
Definition 1.1. Eine Funktion f : D → C heißt (komplex) differenzierbar in z0 ∈ D, wenn
f(z) − f(z0)
lim
=: f
z→z0 z − z0
′ (z0)
existiert. Dann heißt f ′ (z0) die Ableitung von f bei z0. Wenn f bei allen z0 ∈ D komplex
differenzierbar ist, dann heißt f holomorph. Wir schreiben dann f ∈ H(D). Iterativ definiert
man höhere Ableitungen.
Bemerkung 1.2. (a) Offenbar sind die Funktionen f(x) = 1, g(z) = z auf C holomorph mit
f ′ (z) = 0, g ′ (z) = 1.
(b) Genau wie in Analysis 1 zeigt man: Seien f, g : D → C in z ∈ D differenzierbar und
α, β ∈ C. Dann sind auch αf + βg, f · g und 1
f (wenn f(z) = 0) in z differenzierbar und
es gelten die bekannten Regeln. Ebenso gilt die Kettenregel.
(c) Polynome p sind auf C und rationale Funktionen f = p
q
{z ∈ C : q(z) = 0} holomorph mit den reellen Formeln für p ′ , f ′ .
mit einem Polynom q = 0 sind auf
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