Funktionentheorie I

Weitere Zweige der Wurzel
Sei β ∈ (−π, π]. Setze
Sei nun n = 2, dann ist
eine gedrehte Halbebene.
Da β
2
Eβ = {te iψ | t > 0, ψ ∈ (β, β + 2π)} = C \ {re iβ | r ≥ 0}.
Wα,2 = {se iφ | s > 0, φ ∈ (α, α + π)}
< φ < β
2 + π ⇐⇒ β < 2φ < β + 2π, ist po 2 := P2|W β 2 ,2
p o 2 : W β → Eβ.
,2 2
Da Eβ = {te iψ | t > 0, ψ ∈ (β − 2π, β)}, ist ebenso p u 2 := P2|W β 2 −π,2
p u 2 : W β → Eβ.
−π,2 2
1.2 Elementare Funktionen
eine Bijektion
Also erhalten wir für jedes β ∈ (−π, π] genau zwei Zweige der Wurzel
r o 2 = (p o 2) −1 : Eβ → W β
2 ,2,
r u 2 = (p u 2) −1 : Eβ → W β
2 −π,2.
β β
2
te iβ
Eigenschaften: Sei t > 0, ψ ∈ (β, β + 2π), z = te iψ . Es gilt
• r o 2
• r u 2
teiψ = √ ψ
i te 2 =: wo √te i ψ 2 2
Denn: (w o ) 2 =
teiψ = √ ψ
i te 2 e−iπ =: wu √te i ψ
2 e−iπ 2 Denn: (w u ) 2 =
Beispiel. Sei β = π
4
= te iψ = z und ψ
2
Eβ
W β
2 ,2
W β
2 −π,2
eine Bijektion
β β
∈ ( 2 , 2 + π), also wo ∈ W β
2 ,2.
= teiψe−2πi = z und ψ
β β
2 − π ∈ ( 2 − π, 2 ), also wu ∈ W β
2 −π,2.
. Gefordert ist also im Urbild der Wurzel, dass ψ ∈ ( π
4
Sei ψ = π, t = 1, also z = e iπ = −1. Dann r o 2
(−1) = ei π
2 = i, r u 2
π , 2π + ), sowie t > 0.
(−1) = ei π
2 e −iπ = −i.
Sei ψ = 2π, z = t = te 2πi > 0. Dann r o 2 (t) = √ te iπ = − √ t, r u 2 (t) = √ te iπ e −iπ = √ t.
Entsprechend erhält man für jedes β ∈ (−π, π] genau n Zweige der n-ten Wurzel (mit jeweils
passenden α!).
4
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