Funktionentheorie I

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

2 Der Integralsatz von Cauchy Eine Funktion f : [a, b] → C heißt differenzierbar in t0 ∈ [a, b], wenn der Grenzwert f(t) − f(t0) lim =: f t→t0 t − t0 ′ (t0) existiert. Dies ist genau dann der Fall, wenn u = Re f und v = Im f bei t0 differenzierbar sind. Dann gilt f ′ (t0) = u ′ (t0)+iv ′ (t0). Wenn f bei allen t ∈ [a, b] differenzierbar ist und die Ableitung f ′ : [a, b] → C stetig ist, so schreiben wir f ∈ C 1 ([a, b], C). In diesem Fall gilt b f ′ b (t) dt = u ′ b (t) dt + i a a a v ′ (t) dt = u(t)| b a + iv(t)| b a = f(b) − f(a). (2.1) Genauso zeigt man: Falls g : [a, b] → C stetig ist, so existiert t d g(s) ds = g(t) (2.2) dt a für jedes t ∈ [a, b]. Seien f ∈ C1 ([a, b], C) und φ ∈ C1 ([α, β]) mit φ([α, β]) ⊆ [a, b]. Dann gilt die Substitutionsregel φ(b) b f(t) dt = f(φ(s))φ ′ (s) ds (2.3) a φ(a) (Beweis wie im reellen Fall). b Beispiel 2.1. Es gilt e zt b 1 dt = z ezt ′ dt = 1 z ezt a a b a = 1 e z zb − e za für jedes z ∈ C\{0}. Definition 2.2. Sei γ ∈ C([a, b], C). Dann heißt Γ = γ([a, b]) stetige Kurve oder Weg von γ(a) nach γ(b) mit Parametrisierung γ. Die Kurve heißt geschlossen, wenn γ(a) = γ(b) und einfach, wenn γ auf [a, b) injektiv ist. Die Kurve Γ ⊆ C heißt stückweise C 1 , wenn γ ∈ C([a, b], C) und es Zahlen a = t0 < t1 < . . . < tm = b gibt, sodass die Einschränkung γk von γ auf [tk−1, tk] stetig differenzierbar für jedes k = 1, . . . , m ist. Wir setzen dann γ ′ (t) = γ ′ k (t) für t ∈ [tk−1, tk) und k ∈ {1, . . . , m}, γ ′ (b) = γ ′ m(b). Wenn zusätzlich jedes γk eine affine Funktion ist, so heißt Γ Streckenzug. Im Folgenden bezeichnet Γ stets eine Kurve, die stückweise C 1 ist, und γ ist eine Parametrisierung (soweit nichts anderes gesagt wird). Beispiel 2.3. (a) Die einfach im Gegenuhrzeigersinn durchlaufene Kreislinie Γ = ∂B(c, r) hat z.B. die Parametrisierungen γ = c + re it mit t ∈ [0, 2π] und γ1 = c + re 2it mit t ∈ [0, π]. Sie ist einfach und geschlossen. (b) Sei m ∈ N, m ≥ 2. Die m-fach durchlaufene Kreislinie Γ = ∂B(c, r) hat die Parametrisierung γ = c + re it mit t ∈ [0, 2πm]. Sie ist geschlossen, aber nicht einfach. (c) Die Strecke −→ wz von w nach z = w hat die Parametrisierung γ(t) = w + t(z − w) mit t ∈ [0, 1]. Sie ist einfach, aber nicht geschlossen. (d) Seien Γ1, Γ2 stückweise C1-Kurven mit Parametrisierungen γj ∈ C([aj, bj], C) (j = 1, 2) und γ1(b1) = γ2(a2). Dann hat der Summenweg Γ = Γ1 + Γ2 die Parametrisierung γ1(t), a1 ≤ t ≤ b1, γ(t) = γ2(t − b1 + a2), b1 ≤ t ≤ b1 + b2 − a2. 26 Er ist auch stückweise C 1 und verläuft von γ1(a1) nach γ2(b2).
Beispiel: Im Γ1 γ1(a1) Γ2 • Dreiecksweg −−→ z1z2 + −−→ z2z3 + −−→ z3z1: z1 • Kreis mit Griff ∂B(c, r) ∪ [1, 2]: γ1(b1) = γ2(a2) Γ1 z3 2.1 Das komplexe Kurvenintegral Γ2 z2 1 2 γ2(b2) (e) Der Rückwärtsweg −Γ wird durch ˆγ(t) = γ(b − t + a) mit t ∈ [a, b] parametrisiert. Dabei sind ˆγ(a) = γ(b) und ˆγ(b) = γ(a). Er ist auch stückweise C 1 und verläuft von γ(b) nach γ(a). Definition 2.4. Seien Γ eine stückweise C1-Kurve mit Parametrisierung γ ∈ C([a, b], C) und f ∈ C(Γ, C). Dann heißt b f dz = f(z) dz = f(γ(t))γ ′ (t) dt komplexes Kurvenintegral. Γ Γ Bemerkung 2.5. Aus den Eigenschaften des komplexen Integrals folgt sofort für f, g ∈ C(Γ, C) und α, β ∈ C: (a) (αf + βg)(z) dz = α f(z) dz + β g(z) dz. Γ Γ Γ b (b) f(z) dz ≤ l(γ) max |f(z)|, wobei l(γ) = γ Γ z∈Γ a ′ (t)) dt die Kurvenlänge von Γ ist (vgl. Analysis 2/3). (c) Sei Γ = Γ1 + Γ2 wie in Bsp. 2.3(d). Dann gilt f(z) dz = f(z) dz + Γ Γ1 a Γ2 f(z) dz. Speziell folgt mit den Bezeichnungen aus Def. 2.2 m tk f(z) dz = f(γ(t))γ ′ (t) dt. Γ k=1 tk−1 Re 27
Seite 1: Funktionentheorie I Prof. Dr. Rolan
Seite 5: Inhaltsverzeichnis 1 Komplexe Diffe
Seite 8 und 9: 1 Komplexe Differenzierbarkeit Pola
Seite 10 und 11: 1 Komplexe Differenzierbarkeit Erin
Seite 12 und 13: 1 Komplexe Differenzierbarkeit (a)
Seite 14 und 15: 1 Komplexe Differenzierbarkeit Satz
Seite 16 und 17: 1 Komplexe Differenzierbarkeit Fü
Seite 18 und 19: 1 Komplexe Differenzierbarkeit Per
Seite 20 und 21: 1 Komplexe Differenzierbarkeit 1.2.
Seite 22 und 23: 1 Komplexe Differenzierbarkeit Vors
Seite 24 und 25: 1 Komplexe Differenzierbarkeit So e
Seite 28 und 29: 2 Der Integralsatz von Cauchy (d) F
Seite 30 und 31: 2 Der Integralsatz von Cauchy Weite
Seite 32 und 33: 2 Der Integralsatz von Cauchy (b) S
Seite 34 und 35: 2 Der Integralsatz von Cauchy Bild:
Seite 36 und 37: 2 Der Integralsatz von Cauchy Dabei
Seite 38 und 39: 2 Der Integralsatz von Cauchy (b) S
Seite 40 und 41: 2 Der Integralsatz von Cauchy f(w)
Seite 42 und 43: 2 Der Integralsatz von Cauchy Bewei
Seite 44 und 45: 2 Der Integralsatz von Cauchy Also
Seite 46 und 47: 2 Der Integralsatz von Cauchy Also
Seite 48 und 49: 2 Der Integralsatz von Cauchy (b) N
Seite 50 und 51: 2 Der Integralsatz von Cauchy für
Seite 52 und 53: 3 Isolierte Singularitäten Dann gi
Seite 54 und 55: 3 Isolierte Singularitäten Beweis.
Seite 56 und 57: 3 Isolierte Singularitäten Beispie
Seite 58 und 59: 3 Isolierte Singularitäten Weiterh
Seite 60 und 61: 3 Isolierte Singularitäten 3.3 Das
Seite 62 und 63: 3 Isolierte Singularitäten Beispie
Seite 64 und 65: 3 Isolierte Singularitäten Zu J2:
Seite 66 und 67: 3 Isolierte Singularitäten Zum Bew
Seite 69 und 70: 4 Ergänzungen 4.1 Die homotope Ver
Seite 71 und 72: 4.1 Die homotope Version des Cauchy
Seite 73 und 74: Beweis. Für k = 1: Sei Re λ > ω.
Seite 75 und 76: 4.2 Laplace Transformationen (e) f(

Funktionentheorie I

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?