Funktionentheorie I

2.3 Weitere Hauptsätze über holomorphe Funktionen
Korollar 2.37. Seien D ⊆ C ein Gebiet, f ∈ H(D), f nicht konstant und c ∈ R. Dann ist
die Menge Nc = {z ∈ D : f(z) = c} diskret, d.h.: Für alle z ∈ Nc gibt es ein r(z) > 0, sodass
B(z, r(z)) ∩ Nc = {z}.
Beweis. Wenn Nc nicht diskret ist, dann existiert ein z0 ∈ D mit f(z0) = c und zn ∈ D \ {z0}
mit f(zn) = c und zn −→ z0 (n → ∞). Dann liefert Theorem 2.35 „(c) =⇒ (a)“ für h = f − c
die Behauptung, da f nicht konstant ist, also h = 0 ist.
Korollar 2.38 (Holomorphe Fortsetzung).
Beispiel 2.39.
Lemma 2.40.
Theorem 2.41 (Gebietstreue).
Beweis. Sei U ⊆ D offen, z0 ∈ U fest, aber beliebig. Nach Korollar 2.37 (mit „c = f(z0)“)
existiert ein r > 0 mit f(z) = f(z0) für alle z ∈ B(z0, r) =: B ⊆ U mit z = z0. Da ∂B kompakt,
folgt
∃ 1
2 min
z∈∂B |f(z) − f(z0)| =: δ > 0.
Sei nun w ∈ B(f(z0), δ) beliebig, aber fest. Dann ist zu zeigen: w ∈ f(U). Dies ist genau dann
der Fall, wenn
∃z1 ∈ U : f(z1) = 2.
Für z ∈ ∂B gilt:
|f(z) − w| ≥ |f(z) − f(z0)| − |f(z0) − w| ≥ 2δ − δ = δ
=⇒ min |f(z) − w| ≥ δ.
z∈∂B
Lemma 2.40 für g := f − w liefert z1 ∈ B(z0, r) ⊆ U mit g(z1) = 0 ⇐⇒ f(z1) = w. Also
ist f(U) offen. Wenn U zusammenhängend ist, dann ist f(U) nach Theorem 1.68 (Ana 2)
zusammenhängend.
Bemerkung. Seien X, Y normierte Vektorräume und D ⊆ X. Eine Abbildung f : D → Y
heißt offen, wenn für jede in D offene Teilmenge U ⊆ D die Bildmenge f(U) in Y offen ist.
Theorem 2.41 zeigt also die Offenheit aller nichtkonstanten, holomorphen Funktionen auf einem
Gebiet D ⊆ C.
Theorem 2.42 (Maximumsprinzip). Seien D ⊆ C ein Gebiet und f ∈ H(D) nicht konstant.
(a) Dann hat die Funktion z ↦→ |f(z)| kein lokales Maximum auf D.
(b) Wenn ferner f ∈ C(D, C) und D beschränkt ist, dann gilt:
max |f(z)| = max |f(z)| .
z∈D
z∈∂D
Beweis. (a) Annahme: ∃ z0 ∈ D, r > 0 mit |f(z)| ≤ |f(z0)| (∀z ∈ B(z0, r) ⊆ D).
Wähle wn ∈ C mit |wn| > |f(z0)| mit wn → f(z0) (n → ∞). Nach Theorem 2.41 ist
f(B(z0, r)) offen, also
∃ δ > 0 : B(f(z0), δ) ⊆ f(B(z0, r)). (∗)
Wähle N ∈ N mit wn ∈ B(f(z0), δ). Dann folgt mit (∗):
∃ z ∈ B(z0, r) mit f(z) = wn =⇒ |f(z)| = |wn| > |f(z0)| Widerspruch
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