Analysis

Exponentialfunktionen
Beachten Sie: Logistisches Wachstum liegt vor, wenn die Änderungsrate (Wachstumsgeschwindigkeit)
f ′(t) proportional zum Bestand f (t) und zum Sättigungsmanko (G – f(t))
ist: f ′(t) = k · f(t) · (G – f(t))
____________ G · a
Ansatz für logistisches Wachstum: f(t) =
– kGt mit Anfangsbestand f(0) = a
a + (G – a) e
Dabei ist:
G: Wachstumsgrenze, Sättigungswert a: Anfangsbestand
e – k : Wachstumsfaktor; für k > 0 ist 0 < e – k < 1 t: Wachstumszeit
_________ 30
Prüfung der Bedingung f ′(t) = k · f(t) · (G – f(t)) am Beispiel 1) f(t) =
29 e –0,1758t + 1
Mit G = 30 und a = 1 erhält man k aus 30k = 0,1758: k = 0,1758 ______
30
Einsetzen ergibt: 0,1758 _____
30 ·
_________ 30
29 e –0,1758t _________ 30
· (30 –
+ 1 29 e –0,1758t + 1 )
= 0,1758 _____
30 ·
_________ 30
29 e –0,1758t –0,1758t
30 __________
· 29 e
·
+ 1 29 e –0,1758t –0,1758t
____________
30 · 29 e
=
+ 1 ( 29 e –0,1758t + 1) 2
____________
(29 e –0,1758�t 2 = f ′(t)
+ 1)
f(t) erfüllt die Differentialgleichung f ′(t) = k · f(t) · (G – f(t))
195
– 0,1758t
152,946 e
=
2) Das Einkommen eines aufstrebenden Wirtschaftszweiges wird näherungsweise durch
6
___________ 210 · 10
die Funktion h mit h(t) =
9,488 e – 0,47t prognostiziert. Dabei ist t die Zeit in Jahren.
+ 1
Bestätigen Sie, dass das Anfangseinkommen etwa bei 20 · 10 6 GE beträgt.
Bestimmen Sie die Sättigungsgrenze.
Skizzieren Sie das Schaubild von h in ein geeignetes Koordinatensystem.
Bestimmen Sie den Zeitpunkt der Trendwende.
Lösung
6
________ 210 · 10 6
Anfangseinkommen: h(0) =
9,488 + 1
= 20,02 · 10
6
___________ 210 · 10
Sättigungsgrenze: Für t → ∞: h(t) =
9,488 e – 0,47t + 1
→ 210 · 10 6 wegen e – 0,47t → 0
Ableitung: h′(t) = – 210 · 10 6 – 0,47t
__________________________
· (– 0,47) · 9,488 e
– 0,47t
(9,488 e + 1) 2
h′(t) = 936,4656 · 10 6 – 0,47t
_________________ · e
(9,488 e – 0,47t + 1) 2
· 10 y
200
h′ hat eine Maximalstelle in t 1 = 4,787.
150
Der Graph von h hat in t 1 eine Wendestelle.
100
Nach etwa 5 Jahren nimmt die Zuwachsrate
50
des Einkommens wieder ab;
Umstrukturierungen sollten geplant werden.
−2 0 2 4 6 8 10 12 14 16
t in Jahren x
6