Analysis

Ganzrationale Funktionen
Aufgaben
1. Untersuchen Sie das Schaubild K von f auf Wendepunkte.
a) f(x) = − 2 __
3
x 3 + x 2 b) f(x) = 1 __
4
x 4 − 1 __
2
x 3 + 1 c) f(x) = 2 __
3
x 3 – 2x + 3
2. Ermitteln Sie die exakten Koordinaten der Wendepunkte des Graphen K von f.
a) f(x) = − 1 __
8
x 3 + 1 __
4
x 2 + 5 __
2
x + 3 b) f(x) = 6 x 2 – 2 __
3
x 4
3. Machen Sie eine Aussage über das Krümmungsverhalten des Graphen K von f.
Wie lautet die Gleichung der Wendetangente? Zeichnen Sie K und die Wendetangente.
a) f(x) = 3 __
2
x − 3 __
8
x 3 b) f(x) = x 3 – 3 x 2 – x + 3
4. Eine Parabel hat ihren Wendepunkt in W(0 | 3). Die Wendetangente hat die Steigung – 2.
Skizzieren Sie eine mögliche Parabel.
5. Die Abbildung zeigt das Schaubild
der 1. Ableitungsfunktion einer Funktion f.
Begründen Sie mit Hilfe der Zeichnung, dass das
Schaubild von f einen Hoch-, einen Tief- und einen
Wendepunkt mit positiver Steigung besitzt.
6. Gegeben ist die Gesamtkostenfunktion K durch K(x) = 1 __
5
x 3 – 8 x 2 + 110x + 180.
Bestimmen Sie den Wendepunkt W von K und die Steigung der Wendetangente.
Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse im Sachzusammenhang.
7. Der Hersteller eines neuen Stoffes gibt eine Marktuntersuchung in Auftrag.
Es wurde festgestellt, dass die Nutzer dieses Stoffes Preisvorstellungen entsprechend der
Nachfragefunktion p N mit p N (x) = – 0,1 x 2 – x +12 haben. Er bietet sein Produkt entsprechend
der Angebotsfunktion p A mit p A (x) = 1 __
10 x 2 + 2x an.
Bestimmen Sie den maximalen, ökonomisch sinnvollen Defi nitionsbereich dieser
Marktsituation und begründen Sie Ihre Antwort. Berechnen Sie algebraisch das
Marktgleichgewicht. Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Nachfragefunktion streng
monoton fallend und rechtsgekrümmt verläuft.
8. Der Produktlebenszyklus eines Luxusgutes kann durch die Absatzfunktion a mit
a(t) = 0,15 t 4 – 2,4 t 3 + 9,6 t 2 y3
2
1
K f ′
1 2 3 x
-1 −1
−2
; t ≥ 0 beschrieben werden. Dabei ist a(t) der Absatz in
Stück/Jahr, t ist die Zeit in Jahren seit der Produkteinführung. Bestimmen Sie den maximalen,
ökonomisch sinnvollen Defi nitionsbereich D ök . Bestimmen Sie den maximalen
Absatz. In welchem Jahr nimmt der Absatz am stärksten zu, in welchem am stärksten ab?
116