Analysis

Integralrechnung
Bedeutet f ′(x) eine Änderungsrate dann bedeutet ∫ a
271
b
f ′(x)dx = f(b) – f(a)
die Bestandsänderung
• Grenzkosten (K′(x)) Zunahme der variablen Gesamtkosten
bei Produktionserhöhung von a auf b
• Grenzgewinn (G′(x)) Gesamtänderung des Gewinns bei Produktionserhöhung
von a auf b
• Wachstumsgeschwindigkeit
Zunahme der Höhe
{
im Intervall [a; b]
Zunahme der Bakterienzahl
3) Die Wachstumsrate fototroper Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit wird durch die
Funktion f mit f (t) = t · e – 0,5t ; t ∈ R* , in Zeiteinheiten (ZE) t, beschrieben.
– 0,5t
Zeigen Sie, dass zur Funktion f die Stammfunktion F mit F(t) = 4 – 4(1 + 0,5t) e
gehört und dass lim F(t) = 0 gilt. Beschreiben Sie die Bedeutung von F im Sachkontext.
t→ 0
Zeigen Sie, dass die Funktion F für t → ∞ gegen eine endliche Zahl geht und
bestimmen Sie diesen Grenzwert.
Lösung
– 0,5t
Ableiten von F mit F(t) = 4 – 4(1 + 0,5t) e ergibt:
F′(t) = 2(1 + 0,5t) e – 0,5t – 2 e – 0,5t = t e – 0,5t = f(t)
lim F(t) = lim (4 – 4(1 + 0,5t) e
t→ 0 t→ 0
– 0,5t ) = lim (4) – lim 4(1 + 0,5t) e
t→ 0 t→ 0
– 0,5t = 4 – 4 = 0
Bedeutung der Funktion F im Sachkontext
Da f eine Wachstumsfunktion ist, also die Bestandsänderung pro Zeit beschreibt, ist ihr
bestimmtes Integral über die Zeit der Bestand selbst, wenn man aus den Stammfunktionen
die auswählt, die am Anfang den Wert 0 aufweist, genauer den Grenzwert 0 für t → 0.
lim F(t) = lim
t→ ∞ t→ ∞
wegen lim
t→ ∞
(4 – 4(1 + 0,5t) e – 0,5t ) = 4
– 4(1 + 0,5t) e – 0,5t = 0
Der Exponentialsummand strebt gegen Null.
y
4
3
2
1
f
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
F
tx