Analysis

Exponentialfunktionen
Aufgaben
1. Zur Untersuchung eines Organs werden dem Patienten 59 mg eines Farbstoffes
gespritzt. Der gesunde Körper baut pro Minute 4 % des Momentanbestandes ab.
Ist der Patient gesund, wenn nach 20 Minuten noch 30 mg Farbstoff im Blut
nachweisbar sind?
2. Eine Musikagentur veröffentlicht eine CD „ Summer Hits“. In der ersten Verkaufswoche
werden nur 135 CDs verkauft. Die Tabelle enthält die Verkaufszahlen der Folgewochen.
Folgewoche Nummer 1 2 3
Wöchentliche Verkaufszahl 223 371 600
a) Die zeitliche Entwicklung der wöchentlichen Verkaufszahlen soll näherungsweise
durch eine Exponentialfunktion vom Typ y = a e kt beschrieben werden.
Begründen Sie, dass die vorliegenden Daten einen derartigen Ansatz rechtfertigen.
Ermitteln Sie eine geeignete Funktion f.
Wie viel CDs werden nach diesem Modell in der achten Folgewoche verkauft?
In welcher Woche werden voraussichtlich erstmals über 20000 CDs verkauft?
b) Die Marketingabteilung erwartet eine Entwicklung der wöchentlichen Verkaufszahlen
_____________
8100000
gemäß der Funktion g mit g(t) =
e 0,5t –0,5t (t Nummer der Folgewoche).
+ 60000 e
Begründen Sie, warum die Funktion g für die Entwicklung der wöchentlichen
Verkaufszahlen realistischer ist als die Funktion f aus Teilaufgabe a).
Wann ändern sich die wöchentlichen Verkaufszahlen am stärksten?
Bestimmen Sie diese Änderungen.
Interpretieren Sie Ihr Ergebnis mathematisch und ökonomisch.
(Nach einer Prüfungsaufgabe BW.)
3. Die Anzahl der pro Jahr in Deutschland installierten Industrieroboter wird näherungs-
__________ 59000
weise beschrieben durch f(t) =
– 0,31t ; 0 ≤ t ≤ 4.
1 + 7,95 e
t = 0 entspricht dem Jahr 2000.
a) Wie viele Roboter waren es im Jahre 2002?
b) Nun soll f(t) auch im Zeitraum 0 ≤ t ≤ 30 gelten.
In welchem Jahr wird der Markt etwa zu 99 % gesättigt sein?
In welchem Jahr ist die größte jährliche Zuwachsrate zu erwarten?
c) Zeigen Sie, dass f(t) die Differentialgleichung f ′(t) = k · f(t) · (G – f(t)) erfüllt.
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