Analysis

Wachstumsformen
Exponentialfunktionen
Exponentielles Wachstum: f(t) = a e kt
Wachstum um den gleichen Faktor in der gleichen Zeiteinheit.
f(t) erfüllt die Differentialgleichung (DGL): f ′(t) = k · f(t)
– kt
Beschränktes Wachstum: f(t) = G – (G – a) e
f(t) erfüllt die Differentialgleichung: f ′(t) = k(G – f(t))
____________ G · a
Logistisches Wachstum: f(t) =
– kGt mit Anfangsbestand f(0) = a
a + (G – a) e
f(t) erfüllt die Differentialgleichung: f ′(t) = k · f(t) · (G – f(t))
Situation
Eine Tierpopulation hat sich in 5 Jahren von 200 auf 250 Tiere vergrößert.
a) Angenommen, die Vermehrung erfolgt exponentiell.
Exponentielles Wachstum:
Mit Anfangsbestand f(0) = a = 200 folgt aus f(5) = 250: 200 e 5k = 250 ⇒ k ≈ 0,0446
Die Wachstumsgleichung f(t) = 200 e 0,0446t erfüllt die DGL: f ′(t) = k · f(t)
b) Die Zahl der Tiere ist nach oben beschränkt mit G = 1000.
Beschränktes Wachstum:
Mit a = 200, Sättigungswert G = 100 folgt aus f(5) = 250: 1000 – 800 e – 5k = 250
Wachstumskonstante k: k = – 1 __
5
ln(
15 __
16
) ≈ – 0,0129
Die Wachstumsgleichung f(t) = 1000 – 800 e – 0,0129t erfüllt die DGL f ′(t) = k(G – f(t)):
Bestätigung durch Einsetzen: f ′(t) = 0,0129(1000 – 1000 + 800 e – 0,0129t – 0,0129t
) = 10,32 e
c) Die beste Näherung für die Vermehrung der Tiere erhält man, indem man logistisches
Wachstum unterstellt.
Logistisches Wachstum:
Mit a = 200, G = 1000 folgt aus f(5) = 250:
_____________
1000 · 200
200 + 800 e – 5000k = 250
Wachstumskonstante k: k ≈ 0,0000575
Die Wachstumsgleichung f(t) =
– 0,0575t
_______________
9200000 e
Bestätigung durch Einsetzen: f ′(t) =
(200 + 800 e – 0,0575t 2
)
_____________
1000 · 200
200 + 800 e – 0,0575t erfüllt die DGL: f ′(t) = k · f(t) · (G – f(t))
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