Fakultät für Physik und Astronomie - Upgrade/Reorganisation www ...

t0 = 0 gilt, sind die Zeiten tn gegeben durch tn = n/f0. Damit gilt im Fall eines
linearen ADCs der Form von Gleichung 3.2:
x[n] = a · U(tn) + b
= a · (A · f(tn − T0) + B + ɛ(tn)) + b
= (a · A) · f(n/f0 − T0) + (a · B + b) + (a · ɛ(n/f0))
=: Ã · ˜ f(n − n0) + ˜ B + ˜ɛ(n) (3.6)
Dies ist eine sowohl in der Zeit als auch in der Amplitude skalierte Version von
Gleichung 3.1. Die relevanten Informationen sind die Amplitude à = a · A und die
„Zeit“ n0 = T0 · f0.
Analyse des gefilterten Signals (nicht-rekursiver Fall)
Wendet man einen nicht-rekursiven Filter der Form von Gleichung 3.4 auf Gleichung
3.6 an, ergibt sich:
K1
y[n] = ai · ( Ã · ˜ f(n + i − n0) + ˜ B + ˜ɛ(n + i))
= Ã ·
i=0
K1
i=0
ai · ˜ f(n + i − n0) + ˜ K1
B ·
i=0
K1
ai +
i=0
ai · ˜ɛ(n + i)
=: Ã · g(n − n0) + ˜ K1
B · ai + R(n) (3.7)
i=0
Man sieht, dass unter der Bedingung
K1
i=0
ai = 0 (3.8)
der mittlere Term von Gleichung 3.7 verschwindet. In diesem Fall hängt der Ausgangspuls
nicht von einer konstanten Baseline ˜ B des digitalisierten Eingangspulses
ab. Die über Gleichung 3.7 definierte Funktion g(n), welche sowohl die Filterkoeffizienten
ai als auch die Form des Eingangspulses f bzw. ˜ f enthält, hat im Idealfall
ein Maximum bei n = ñ, das möglichst scharf und möglichst hoch ist. Ohne den
Rauschterm R(n) und mit Gleichung 3.8 vereinfacht sich Gleichung 3.7 zu:
y[n] = Ã · g(n − n0) (3.9)
Man erhält bei nmax ≈ ñ + n0 das Maximum des Ausgangspulses. Das „≈“ kommt
daher, dass nmax ein ganzzahliger Index ist, während ñ und n0 nicht ganzzahlig sein
müssen. Mit den folgenden Beziehungen erhält man die gesuchten Größen à und n0:
18
y[nmax] =
à · g(ñ) (3.10)
n0 = nmax − ñ (3.11)