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Fitfunktion ˜ h ergibt sich aus der Anwendung des Filters auf Gleichung 3.41:
K1
˜h(t) = ai · h(t + i)
i=0
K1
K1
= A · ai · exp(−λ · (t + i)) + B ·
i=0
i=0
K1
K1
= A · ai · exp(−λ · i) · exp(−λ · t) + B ·
i=0
K1
=: Ã · exp(−λ · t) + B ·
i=0
ai
ai
i=0
ai
(3.42)
Wählt man die Koeffizienten ai so, dass Gleichung 3.8 erfüllt ist, erhält man als
Fitfunktion einen exponentiellen Abfall ohne Offset. Dieses Problem kann durch
Bildung des Logarithmus linearisiert und (mit der Methode der kleinsten Quadrate)
analytisch gelöst werden. Man muss allerdings wissen, welche Polarität das gefilterte
Signal hat. Ist sie negativ, wird das Signal noch invertiert, damit à > 0 gilt.
Andernfalls lässt sich der Logarithmus der Werte des gefilterten Signals nicht bilden.
Wahl des Filters
Als nicht-rekursiver Filter, der Gleichung 3.8 erfüllt, wurde hier ein Trapezfilter der
Form von Gleichung 3.25 gewählt. Seine Parameter L und G bilden zusammen mit
der Anzahl J der Punkte des Fitbereichs die Parameter des Exponentialfit-Filters.
Es ist zu beachten, dass diese Parameter aufeinander abgestimmt sein sollten: die
Anwendung des Trapezfilters auf ein Signal mit J Punkten erzeugt ein Signal mit
J − (2L + G − 1) Punkten. Damit ist eine untere Schranke für J definiert, für ein
brauchbares Fitergebnis sollte J deutlich größer als diese gewählt werden. Ein zu
großer Wert von J kann aber dazu führen, dass die steigende Flanke des zu untersuchenden
Pulses in den zu fittenden Bereich fällt. Alternativ kann man kleine Werte
für L und G wählen. Dann kann es − besonders bei starkem Rauschen und einer
geringen Amplitude des zu fittenden exponentiellen Abfalls − passieren, dass einige
Ausgangswerte des Trapezfilters negativ werden. Von diesen kann dann kein Logarithmus
gebildet werden, so dass der Fit nicht möglich ist. Wird der Exponentialfit-
Filter auf einen Puls angewendet, bei dem nicht bekannt ist, ob ein exponentieller
Abfall des vorherigen Pulses vorliegt, kann das Vorzeichen der Ausgangswerte des
Trapezfilters als Kriterium dafür verwendet werden: wenn mindestens ein negativer
Wert gefunden wird, nimmt man an, dass die Amplitude des exponentiellen Abfalls
klein genug ist, so dass der zu untersuchende Puls nur vernachlässigbar verfälscht
wird.
Berechnung des Ausgangssignals
Falls alle Ausgangswerte des Trapezfilters positiv sind, wird der Fit ausgeführt und
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