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1.1 Zahlen und Rechenoperationen – die Grundlagen
Gebräuchliche Bezeichnungen:
• Menge: Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten
unserer Anschauung oder unseres Denkens. Die Objekte heißen
Elemente, das Symbol ∈ kennzeichnet die Zugehörigkeit
zu einer Menge („... ist Element von ...“ bzw. „... ist aus ...“),
bei Nichtangehörigkeit verwendet man das Zeichen ∉ („... ist
nicht Element von ...“ bzw. „... ist nicht aus ...“).
Mengen werden mit Großbuchstaben, Elemente mit kleinen
Buchstaben (oder Zahlen etc.) bezeichnet.
Man gibt Mengen an, in dem man zwischen geschwungenen
Klammern die Elemente aufzählt oder deren charakteristische
Eigenschaften festlegt.
• Spezielle Zeichen, die bei Definitionen (Begriffsfestlegungen),
Mengenangaben und Theoremen (Folgerungen, auch Sätze
genannt) immer wieder verwendet werden:
∗ ⇒ daraus folgt (wenn …, dann …)
∗ ⇔ äquivalent (wahrheitsgleich; wenn …, dann …und
umgekehrt)
∗ := per Definition gleich
∗ :⇔ per Definition äquivalent
∗ ∧ (logisches) und
∗ ∨ (logisches, nichtausschließendes) oder
• Wichtige Zahlen:
∗ natürliche Zahlen: := {1; 2; 3; 4; 5; …}
∗ natürliche Zahlen und die Null: 0 := {0; 1; 2; 3; 4; 5; …}
∗ ganze Zahlen: := {0; ±1; ±2; ±3 ; ±4 …}
z
∗ rationale Zahlen: := { | n;
z ∈ ∧ n ≠ 0}
n
Betrag der ganzen Zahl
|+2|=|−2|=2
Vorzeichen der ganzen Zahl
∗ Reelle Zahlen: umfasst alle endlichen und unendlichen
Dezimalzahlen. Mit ihnen lässt sich jedes Messergebnis
beschreiben (theoretisch; praktisch genügen dafür aber
die endlichen Dezimalzahlen).
• Ein Term ist ein aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen
gebildeter, sinnvoller mathematischer Ausdruck.
Variablen (meist Buchstaben) sind Platzhalter für Zahlen
oder andere Ausdrücke. Für sie gelten die gleichen Rechenregeln
wie für Zahlen!
• Summanden / Faktoren sind die durch Additions- / Multiplikationszeichen
verbundene Zahlen oder Terme. Das Multiplikationszeichen
kann man, wenn keine Verwechslung möglich
ist, weglassen ( 2 ⋅ a = ˆ 2a
).
Beispiel:
a) Menge der geraden ganzen Zahlen
von 2 bis 8: G = {2; 4; 6; 8}
4 ∈ G , 7 ∉ G
x ∈ G bedeutet, dass x eine gerade
ganze Zahl zwischen 1 und 9 ist.
b) P={p|p ist eine Primzahl y ⇔ x − y > 0
Mittelwertdefinition:
x1
+ x2
x : =
2
x ist gerade :⇔ 2 teilt x restlos
x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z
x =0 ∨ y =0 ⇔ x⋅y =0
Hier sind keine
Klammern nötig.
Bemerkung: Jede positive ganze Zahl
entspricht einer natürlichen Zahl, (z.B.
+ 3 = 3 ), also lässt man das Vorzeichen-
Pluszeichen weg.
Bemerkung: Die Bruchschreibweise ist
der Dezimaldarstellung gleichwertig,
jede Bruchzahl kann entweder als endliche
oder unendlich periodische Dezimalzahl
geschrieben werden (und umgekehrt).
Bemerkung: Beim Rechnen mit Zahlen
kann man Ergebnisse etc. durch andere
Zahlen ausdrücken. Bei Variablen
ist dies nur beschränkt möglich, daher
braucht man zusätzliche Regeln.
2 + 3⋅
x
Summanden
Faktoren
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1.1 Zahlen und Rechenoperationen – die Grundlagen
• Potenzen:
∗ Das Produkt von n gleichen Faktoren a∈ wird als n-te
Potenz von a bezeichnet („a hoch n“):
a n
: = a ⋅ a ⋅K
⋅ a a∈ ∧ n∈ , n≥2
Exponent (Hochzahl)
Basis (Grundzahl)
∗ Zusatzdefinitionen:
1
a : =
a
a∈
0
a : = 1 a∈ , a≠0
a
−n
1
:= n
a
a∈ , a≠0
• Eine Gleitkommazahl ist das Produkt aus einer Dezimalzahl
und einer Potenz mit der Basis 10 (Zehnerpotenz).
Zehnerpotenzen mit bestimmten, bevorzugt durch drei teilbaren
Exponenten haben als so genannte Vorsätze zu physikalischen
Einheiten eigene Bezeichnungen:
10 18 Exa E 10 2 Hekto h 10 -9 Nano n
10 15 Peta P 10 Deka da 10 -12 Pico p
10 12 Tera T 10 -1 Dezi d 10 -15 Femto f
10 9 Giga G 10 -2 Zenti c 10 -18 Atto a
10 6 Mega M 10 -3 Milli m
10 3 Kilo k 10 -6 Mikro µ
• Haben die Summanden einer Summe gemeinsame, für die
Summation entscheidende Merkmale, so verwendet man das
Summenzeichen:
n
∑ k : = s1
+ s2
+ s3
+ K + sn−1
k = 1
s + s
Bemerkungen:
n
k-ter Summand
kleinster (n: größter) Indexwert
Laufindex: er durchläuft der Reihe nach alle Zahlen
von 1 bis n (Mehrzahl von Index: Indizes)
∗ Der untere Indexwert kann auch ein anderer Wert als
eins sein.
∗ Der Laufindex muss nicht unbedingt Bestandteil der einzelnen
Summanden sein.
∗ Das Summenzeichen wird auch in allgemeinerer Form
(ohne Indizes oder Grenzen) benutzt.
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2
( − 5)(
−5)(
−5)
= ( −5
4
x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x =
3 3
1 =
0
( − 4)
= 1
2
− 3
1
= =
3
2
1
8
5
x
3
)
3456, 7 = 3,
4567 ⋅10
0,
01234
3
−3
= 12,
34 ⋅10
−9
3,
21nm
= 3,
21⋅10
0,
456 MW = 0,
456 ⋅10
W = 456 kW
4
1 k
∑ ⋅ x ) k
k=
1
6
∑
i=
2
1
2
m
( = x + x + x + x
i
2
6
1
3
3
1
4
( −1)
n n n n n
= n − + − +
2i
− 3 3 5 7 9
Für „die Summe aller Kräfte in x-
Richtung ist null“ schreibt man kurz:
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∑ x F
= 0
4

1.1 Zahlen und Rechenoperationen – die Grundlagen
Wichtige Rechenregeln:
• Die Division durch null ist nicht definiert und daher nicht erlaubt.
• Multiplikationen / Divisionen sind vor Additionen / Subtraktionen
durchzuführen, außer es wird durch Klammern eine
andere Reihenfolge festgelegt („Punkt- vor Strichrechnung“).
• Summanden bzw. Faktoren kann man vertauschen (Kommutativgesetz):
a + b = b + a bzw. a ⋅ b = b ⋅ a
Achtung: Für eine Subtraktion oder Division gilt dies nicht!
• Fortlaufende Additionen / Multiplikationen können in beliebiger
Reihenfolge durchgeführt werden (Assoziativgesetz):
a + b + c = ( a + b)
+ c = a + ( b + c)
bzw.
a ⋅ b ⋅ c = ( a ⋅ b)
⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c)
Achtung: Fortlaufende Subtraktionen / Divisionen müssen
von links her abgearbeitet werden:
a − b − c : = ( a − b)
− c und a : b : c : = ( a : b)
: c
• Vorzeichenregeln
∗ Additionen / Subtraktionen von beliebigen Zahlen (a>0):
+ ( + a)
= −(
−a)
= + a
+ ( −a)
= −(
+ a)
= − a
∗ Multiplikationen / Divisionen beliebiger Zahlen (a, b>0):
( + a)(
+ b)
= ( −a)(
−b)
= ab
( + a)(
−b)
= ( −a)(
+ b)
= −ab
a
( + a)
: ( + b)
= ( −a)
: ( −b)
=
b
a
( + a)
: ( −b)
= ( −a)
: ( + b)
= −
b
bzw.
• Multiplizieren von Summen (Differenzen) (Distributivgesetz):
∗ a ⋅ ( x + y)
= ax + ay und
( a + b)
⋅ ( x + y)
= ax + ay + bx + by
Achtung: Für Divisionen gelten diese Regeln nicht!
∗ Häufige Produkte (binomische Formeln):
( a + b)
⋅ ( a − b)
= a
( a ± b)
2
= a
2
2
− b
± 2ab
+ b
Zweckmäßige Reihenfolge beim Rechnen:
2
2
Vorzeichen – Zahlenwerte (Koeffizienten) – Variablen
2 ⋅ 7 − 4 = 10
2 ⋅ ( 7 − 4)
= 2 ⋅ 3 = 6
3 + 6 = 6 + 3 = 9
6 − 4 = 2 aber
13 + 6 + 2 = 19 + 2 = 21
= 13 + 8 = 21
4 − 6 = −2
56 : 4 : 2 = 14 : 2 = 7 und nicht
56 : ( 4 : 2)
= 28
4 − ( −6)
= 4 + 6 = 10
3 − ( 4 − 2x
) = 3 − 4 + 2x
= 2x
−1
4 x + ( 2 − 3x)
= 4x
+ 2 − 3x
= x + 2
3⋅ ( −2)
= −6
−16
= 8
− 2
3 x − 2 ⋅ ( x − 2)
= 3x
− 2x
+ 4 = x + 4
( 3x
− 2)(
x − 2)
= 3x
= 3x
2
2
− 6x
− 2x
+ 4 =
− 8x
+ 4
Binom: Summe mit 2 Summanden
( 2
x − 3)(
2x
+ 3)
= 4x
− 9
2
( 2x
− 3)
= 4x
2
2
−12x
+ 9
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1.1 Zahlen und Rechenoperationen – die Grundlagen
• Rechnen mit Brüchen
∗ Erweitern und Kürzen: Der Wert eines Bruchs bleibt unverändert,
wenn man Zähler und Nenner mit derselben
von null verschiedenen Zahl multipliziert oder durch eine
solche dividiert.
z
n
z ⋅ a z : a
= = a≠0
n ⋅ a n : a
∗ Die Addition / Subtraktion setzt Brüche mit dem gleichen
Nenner voraus (andernfalls sind sie entsprechend zu erweitern):
Bei gleichbleibendem Nenner werden die Zähler
addiert / subtrahiert.
z1 z2
z1
± z2
± =
n n n
∗ Multiplikation: Ist der Faktor eine Zahl, so ist nur der
Zähler mit der Zahl zu multiplizieren, ist der Faktor ein
Bruch, so werden die Zähler miteinander und die Nenner
miteinander multipliziert.
z z ⋅ a
⋅ a = bzw.
n n
z1
z2
z1
⋅ z2
⋅ =
n n n ⋅ n
1
∗ Bei der Division durch eine Zahl a≠0 dividiert man entweder
den Zähler durch diese Zahl oder multipliziert den
Nenner mit dieser Zahl. Die Division durch einen Bruch
entspricht der Multiplikation mit dessen Kehrzahl (Kehrwert).
z z a z
a = =
n n n ⋅ a
:
: bzw.
Bemerkungen:
2
z
n
1
1
1 :
z
n
2
2
2
z1
n2
= ⋅
n z
∗ Beim Multiplizieren / Dividieren möglichst vorher kürzen.
∗ Ein Doppelbruch ist das Ergebnis einer Bruchdivision, er
lässt sich daher entsprechend vereinfachen (es ist keine
eigene Regel dafür nötig).
z
n
z
n
1
1
2
2
z
=
n
1
1
z
:
n
2
2
z1
n2
= ⋅
n z
1
2
∗ Eine gemischte Zahl ist die Kurzform einer Summe von
einem Bruch und einer ganzen Zahl. Man sollte sie vermeiden!
∗ Das Distributivgesetz lässt sich beschränkt auf die Division
übertragen, da diese bei Verwendung der Kehrzahl
als Produkt geschrieben werden kann:
1 x y
( x + y)
: a = ( x + y)
⋅ = + = x : a + y : a
a a a
1
2
12
28
7
9
7
9
−
+
=
5
9
24
56
7
18
=
3
7
4
5 20
8 ⋅ =
18 9
9
2 2
6 14
⋅ =
35
27
5 9
4 2
: 2 =
7 7
4 7 − 5 + 4 6
+ = = =
9 9 9
14 + 7 −18
−1
= =
18
4
45
3 1
6 4 6 5
: = ⋅ =
25 5 25 4
5 2
7
2
4
7
2
3
4
=
4
: 2
7
4
= ⋅
7
3
2
=
=
2
7
6
7
2 2 17
= 3 + =
5 5
3 5
3
10
3
18
5
: 2 =
7
2
3
=
5
14
1
6
2 11 11
= 2 ⋅ =
8 4
8
11
aber: a : ( x + y)
≠ a : x + a : y !!!
denn
84 : ( 3 + 4)
= 84 : 7 = 12
84 : 3
+
84 : 4
= 28 + 21 = 49
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1.1 Zahlen und Rechenoperationen – die Grundlagen
• Rechnen mit Potenzen (a; b ≠0):
∗ Potenzen mit geraden Zahlen im Exponenten sind nie negativ,
bei ungeraden Exponenten hat der Potenzwert das
Vorzeichen der Basis.
∗ Summen von Potenzen kann man im Allgemeinen nicht
zusammenfassen:
a
a
n n
n
+ b ≠ ( a + b)
k
+ a
n
≠ a
k + n
aber
n n
a + a = 2
∗ Multiplizieren / Dividieren und Potenzieren kann man
vertauschen:
n n
n n n
⎛ a ⎞ a
( a ⋅ b)
= a ⋅ b und ⎜ ⎟ = n
⎝ b ⎠
∗ Beim Multiplizieren / Dividieren von Potenzen gleicher
Basis bleibt die Basis gleich und die Exponenten werden
addiert / subtrahiert:
a
k n k + n
⋅ a = a und
b
k
a k −n
= a n
a
∗ Beim Potenzieren einer Potenz werden bei gleicher Basis
die Exponenten multipliziert:
k
( a )
n
= a
k⋅n
Bemerkung: Bei Potenzen gleicher Basis wird nur mit den
Exponenten gerechnet, wobei sich die Rechenstufe um eins
erniedrigt:
addieren / subtrahieren → ?
multiplizieren / dividieren → addieren / subtrahieren
potenzieren → multiplizieren
a
n
10
( − 2)
= 1024
5
( − 3)
3
= −243
3
2 + 4 = 8 + 64 = 72 ≠ 6
2
2
( a + b)
= a + 2ab
+ b ≠ a + b
3
( 2x
) = 8x
⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠
x
−4
3
4
⎛ 3 ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠
=
3 5
⋅ x 3+
5−6
= x
6
x
aber:
3 2
( 2 )
x
81
16
= x
3 4
− x 3−2
4−2
= x − x
2
6
x
= 2 = 64
2
2
3
2
2
= x − x
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