1.1 Zahlen und Rechenoperationen – die Grundlagen - oeppi

1.1 Zahlen und Rechenoperationen – die Grundlagen
• Rechnen mit Brüchen
∗ Erweitern und Kürzen: Der Wert eines Bruchs bleibt unverändert,
wenn man Zähler und Nenner mit derselben
von null verschiedenen Zahl multipliziert oder durch eine
solche dividiert.
z
n
z ⋅ a z : a
= = a≠0
n ⋅ a n : a
∗ Die Addition / Subtraktion setzt Brüche mit dem gleichen
Nenner voraus (andernfalls sind sie entsprechend zu erweitern):
Bei gleichbleibendem Nenner werden die Zähler
addiert / subtrahiert.
z1 z2
z1
± z2
± =
n n n
∗ Multiplikation: Ist der Faktor eine Zahl, so ist nur der
Zähler mit der Zahl zu multiplizieren, ist der Faktor ein
Bruch, so werden die Zähler miteinander und die Nenner
miteinander multipliziert.
z z ⋅ a
⋅ a = bzw.
n n
z1
z2
z1
⋅ z2
⋅ =
n n n ⋅ n
1
∗ Bei der Division durch eine Zahl a≠0 dividiert man entweder
den Zähler durch diese Zahl oder multipliziert den
Nenner mit dieser Zahl. Die Division durch einen Bruch
entspricht der Multiplikation mit dessen Kehrzahl (Kehrwert).
z z a z
a = =
n n n ⋅ a
:
: bzw.
Bemerkungen:
2
z
n
1
1
1 :
z
n
2
2
2
z1
n2
= ⋅
n z
∗ Beim Multiplizieren / Dividieren möglichst vorher kürzen.
∗ Ein Doppelbruch ist das Ergebnis einer Bruchdivision, er
lässt sich daher entsprechend vereinfachen (es ist keine
eigene Regel dafür nötig).
z
n
z
n
1
1
2
2
z
=
n
1
1
z
:
n
2
2
z1
n2
= ⋅
n z
1
2
∗ Eine gemischte Zahl ist die Kurzform einer Summe von
einem Bruch und einer ganzen Zahl. Man sollte sie vermeiden!
∗ Das Distributivgesetz lässt sich beschränkt auf die Division
übertragen, da diese bei Verwendung der Kehrzahl
als Produkt geschrieben werden kann:
1 x y
( x + y)
: a = ( x + y)
⋅ = + = x : a + y : a
a a a
1
2
12
28
7
9
7
9
−
+
=
5
9
24
56
7
18
=
3
7
4
5 20
8 ⋅ =
18 9
9
2 2
6 14
⋅ =
35
27
5 9
4 2
: 2 =
7 7
4 7 − 5 + 4 6
+ = = =
9 9 9
14 + 7 −18
−1
= =
18
4
45
3 1
6 4 6 5
: = ⋅ =
25 5 25 4
5 2
7
2
4
7
2
3
4
=
4
: 2
7
4
= ⋅
7
3
2
=
=
2
7
6
7
2 2 17
= 3 + =
5 5
3 5
3
10
3
18
5
: 2 =
7
2
3
=
5
14
1
6
2 11 11
= 2 ⋅ =
8 4
8
11
aber: a : ( x + y)
≠ a : x + a : y !!!
denn
84 : ( 3 + 4)
= 84 : 7 = 12
84 : 3
+
84 : 4
= 28 + 21 = 49
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