Trigonometrie des rechtwinkeligen Dreiecks - oeppi

Trigonometrie des rechtwinkeligen Dreiecks
B01 Die dem Winkel β = 30 ◦ gegenüberliegende Kathete eines rechtwinkeligen Dreiecks ist 17,9 cm lang.
Wie groß sind die beiden anderen Seiten?
B02 Ein rechtwinkeliges Dreieck △ABC mit dem Umfang u = 577 mm hat einen 45 ◦ -Winkel. Wie lang sind
die Seiten?
B03 Im Dreieck △ABC schließen die Seiten b = 23,5 cm und c = 37,6 cm den Winkel α = 60 ◦ ein. Man
berechne die Seite a und bestimme die beiden anderen Winkel .
Mittels Winkeln Seiten (und umgekehrt) zu berechnen, gelingt bislang nur in Ausnahmefällen. Die grafische
Behandlung jedoch ist mühsam und ungenau. Daher braucht man weiterführende Beziehungen.
Wir haben bisher benutzt:
Dreieck: Die Bezeichnungen eines Dreiecks △ABC erfolgen nach
Übereinkunft entgegen dem Uhrzeigersinn und zwar so, dass
die Seiten (z.B. a) den gegenüberliegenden Ecken und Winkeln
(A bzw. α) zugeordnet werden. Die Winkelsumme beträgt
stets 180 ◦ , der größten/kleinsten Seite liegt immer der
größte/kleinste Winkel gegenüber.
A
α
c
b
h b
β
B
γ
a
C
h c
Höhen: Sie sind die Normalen von den Eckpunkten zu den Seiten
bzw. deren Verlängerungen. Das halbe Produkt einer Höhe mit
der zugehörigen Seite ergibt den Flächeninhalt A:
α + β + γ = 180 ◦
a < c < b ⇔ α < γ < β
A = s · h s
2
rechtwinkeliges Dreieck (rw△ABC): Nach Übereinkunft ist γ der
rechte Winkel und damit c die Hypotenuse. Die beiden anderen
Seiten a und b sind die Katheten.
Pythagoras: Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe
der Kathetenquadrate:
c 2 = a 2 + b 2
α
b
b c
α + β = 90 ◦
c
h
α
a c
a
gleichseitiges Dreieck (gls△ABC): Die Höhen h sind Winkelsymmetralen.
Für sie und den Flächeninhalt gelten die Formeln
(a ist die Seitenlänge)
h = a · √3
A = a2 · √3
2
4
Quadrat: Für die Diagonale d und den Flächeninhalt gelten die Formeln
(a ist die Seitenlänge):
d = a · √2
A = a 2 = 1 2 · d2
30 ◦ a
a
2
h
60 ◦
a
B04 Beweise die für das gleichseitige Dreieck und das Quadrat angegebenen Formeln.
B05 Wie lang sind die Seiten eines gleichseitigen Dreiecks mit 977 cm 2 Flächeninhalt?
B06 Zwei Kräfte F 1 = 1129 N und F 2 = 468 N greifen an einem Punkt an. Wie groß ist die resultierende
Kraft, wenn die Kräfte einen Winkel von (a) 135 ◦ bzw. (b) 30 ◦ einschließen?
B07 Der Umfang eines rechtwinkeligen Dreiecks, bei dem eine Kathete halb so groß wie die Hypotenuse ist,
beträgt 250,8 Millimeter. Wie groß sind die Seiten, die Höhe h und der Flächeninhalt des Dreiecks?
c○ R. Scheiblhofer Seite 1 von 6

Trigonometrie des rechtwinkeligen Dreiecks
a
b = a′
b ′
bzw.
a
c = a′
c ′
bzw.
b
c = b′
c ′
Da durch Vorgabe von zwei Winkeln (z.B. α und γ) der dritte
bereits festliegt, sind die Verhältniszahlen nur von diesen beiden
Winkeln abhängig (a ≠ a 1 ). Wählt man nun einen der
beiden für alle Dreiecke gleich, so sind die Seitenverhältnisse
charakteristisch für einen Winkel.
Winkelfunktionswerte für einen Winkel ϕ ≠ 90 ◦ eines rechtwinkeligen
Dreiecks. Das Verhältnis der dem Winkel
∗ gegenüberliegenden Kathete zur Hypotenuse heißt Sinus:
sin ϕ := GK H
∗ anliegenden Kathete zur Hypotenuse heißt Kosinus:
cos ϕ := AK H
∗ gegenüber- zur anliegenden Kathete heißt Tangens:
tan ϕ := GK
AK
b
Ähnlichkeit: Haben zwei Dreiecke die gleichen Winkeln, so sind sie
ähnlich. Für uns wichtig ist die Eigenschaft, dass die Seiten-
verhältnisse bei ähnlichen Dreiecken einander entsprechen:
α
α
c
b ′
AK
ϕ
γ
c ′
H
γ 1
a
γ 1
γ
a 1
a ′ 1
a ′
GK
Den Kehrwert des Tangens nennt
man Kotangens (cot ϕ), er ist für
die Geometrie entbehrlich.
B08 Für die Berechnung der folgenden rechtwinkeligen Dreiecke △ABC sind vorwiegend Winkelfunktionen
zu verwenden:
(a) b = 3,4 cm α = 41,0 ◦ c, h =? (b) h = 271 mm β = 52,0 ◦ a, c =?
(c) Umfang u = 68,3 cm
a, b, c =?
α = 35,7 ◦
(d) A = 374 cm 2 β = 71,4 ◦ a, c =?
B09 Bei einer Sonnenhöhe von 75,0 ◦ wirft eine senkrecht gehaltene Holzlatte einen 75 Zentimeter weiten
Schatten. Wie lange ist der Schatten, wenn man die Latte um 45 ◦ in Schattenrichtung neigt?
B10 Wie groß ist die Seite eines regelmäßigen Fünfecks, dessen Höhe 31,7 Zentimeter misst?
Eigenschaften der Winkelfunktionen: Die Sinus- und Kosinus- 0 < sin ϕ , cos ϕ < 1
werte sind stets kleiner als eins, die Tangenswerte hingegen
können beliebig groß werden.
Der Tangens ist auch das Verhältnis von Sinus und Kosinus.
0 < tan ϕ = sin ϕ
cos ϕ < ∞
Wegen des Satzes von Pythagoras gilt: sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1 sin 2 ϕ = (sin ϕ) 2
Winkelfunktionswerte besonderer Winkel:
sin 30 ◦ = cos 60 ◦ = 1 / 2 sin 45 ◦ = cos 45 ◦ = √ 2/ 2 ≈ 0,707 sin 60 ◦ = cos 30 ◦ = √ 3/ 2 ≈ 0,866
tan 30 ◦ = √ 3/ 3 ≈ 0,577 tan 45 ◦ = 1 tan 60 ◦ = √ 3 ≈ 1,732
Komplementärwinkel (zwei Winkel sind komplementär, wenn ihre Summe 90 ◦ ergibt):
sin(90 ◦ − ϕ) = cos ϕ cos(90 ◦ − ϕ) = sin ϕ tan(90 ◦ − ϕ) = cot ϕ = 1 / tan ϕ
c○ R. Scheiblhofer Seite 2 von 6

Trigonometrie des rechtwinkeligen Dreiecks
Die folgenden Beispiele sind noch ohne Winkelberechnung zu lösen (später kann man ja die Probe machen).
B11 Wenn sin α = 0,6 gilt, welche Werte haben dann Kosinus und Tangens von α ?
B12 Für β gilt tan β = 7 / 24 . Man berechne Sinus und Kosinus dieses Winkels.
B13 Der Sinus von 35,1 ◦ beträgt ungefähr 0,575 . Welcher Winkel hat den gleichen Kosinuswert?
B14 Für Mathe -Tüftler: Wenn der Sinus eines Winkels 8 / 17 beträgt, wie groß ist dann der Tangens des halb
so großen Winkels? (Überlege, wie man eine Kathete verlängern muss, um den Winkel zwischen ihr
und der Hypotenuse zu halbieren.)
Ergänzung der Winkelfunktionswerte für 0 ◦ und 90 ◦ . Obwohl es natürlich keine rechtwinkeligen Dreiecke
mit einem Null-Grad-Winkel oder zwei rechten Winkel gibt, wird damit der Tendenz der Winkelfunktionswerte
bei Annäherung an diese beiden Winkel Rechnung getragen (damit werden auch
Überschlagsrechnungen erleichtert):
sin 0 ◦ = cos 90 ◦ := 0 sin 90 ◦ = cos 0 ◦ := 1 tan 0 ◦ := 0
Für 90 ◦ lässt sich kein Tangenswert definieren, es gibt keinen größten Wert für den Tangens!
Arcusfunktionen sind die Umkehrungen der Winkelfunktionen; sie
liefern zu einem Winkelfunktionswert den zugehörigen Winkel:
}
Arcussinus: arcsin x = ϕ :⇔ sin ϕ = x
für 0 ≤ x ≤ 1
Arcuskosinus: arccos x = ϕ :⇔ cos ϕ = x
Arcustangens: arctan x = ϕ :⇔ tan ϕ = x für x ≥ 0
Bemerkung: Am Taschenrechner (und nicht nur dort) findet
man anstelle der arc. . . -Schreibung die Bezeichnungen sin −1 ,
cos −1 und tan −1 . Obwohl diese Schreibweise ebenfalls möglich
ist, wollen wir die eingeführten Bezeichnungen verwenden, um
eine Verwechslung mit der Kehrwertbildung (!) gar nicht erst
aufkommen zu lassen.
arcsin 0,5 = 30 ◦
tan 69,4 ≈ 2,66
arctan 2,66 ≈ 69,4 ◦
sin −1 x = arcsin x
sin −1 x ≠ 1
sin x
B15 In einem rechtwinkeligen Dreieck ist die Kathete a 78 mm lang, die Hypotenuse c misst 113 mm . Wie
groß ist der Winkel α ?
B16 Welchen Winkel schließen in einem Rechteck mit den Seiten a = 12,8 cm und b = 8,2 cm die Diagonale
und die Seite a ein?
B17 Überprüfe die gemessenen Winkel von Beispiel B03 durch Rechnung.
B18 Welchem Steigungswinkel entspricht eine Steigung von 5,0 %?
B19 Zwei aufeinander normal stehende Kräfte F 1 = 760 N und F 2 = 570 N greifen in einem Punkt an.
Welchen Betrag hat die Resultierende und wie groß ist der Winkel zwischen ihr und F 1 ?
Tipps zur Anwendung: Am besten behandelt man trigonometrische Aufgaben nach folgendem Schema:
Beteiligte Seitenarten (Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse) feststellen → die Definition der für diese
Seiten ”
zuständigen“ Winkelfunktion anschreiben → auf die gesuchte Größe umformen. Auf diese Weise
zuerst alle Berechnungsformeln zusammenstellen und dann erst auswerten. Dabei mehrmals benutzte
Größen zur Vermeidung unnötiger Rundungsfehler speichern und darauf achten, dass die Ergebnisse
nie genauer als die Eingangsdaten sein können!
Wegen des häufigen Gebrauchs sollte man sich Folgendes unbedingt aneignen: Werden Sinus oder
Kosinus zur Berechnung verwendet (die Hypotenuse ist gegeben oder gesucht), so kann man auf das
Anschreiben der Definition wegen der Größenordnung dieser Werte (< 1) verzichten: Bei der Multiplikation
mit diesen Winkelfunktionswerten erhält man eine kürzere Seite (muss die Kathete sein), beim
Dividieren eine längere (die Hypotenuse eben).
c○ R. Scheiblhofer Seite 3 von 6

Trigonometrie des rechtwinkeligen Dreiecks
Wir wiederholen einige wichtige geometrische Figuren, ihre Bezeichnungen, Merkmale und Eigenschaften:
gleichschenkeliges Dreieck (glsch△ABC): a und b sind die gleichlangen
Schenkel, c ist die Basis des Dreiecks. Dementsprechend sind α und
β die Basis- und γ der Scheitelwinkel. Letzterer wird ebenso wie die
Basis durch die Höhe h c halbiert.
Viereck: Die Bezeichnungen erfolgen wieder entgegen dem Uhrzeigersinn,
die Seiten liegen aber den entsprechenden Winkeln an (die Winkelsumme
beträgt 360 ◦ ). Neben den Seiten als Eckenverbindungen gibt
es die Diagonalen e = AC und f = BD (bei Rechtecken und Quadraten
werden die (gleich langen) Diagonalen mit d bezeichnet). Achtung:
Vierecke sind bei gleichen Winkeln nicht automatisch ähnlich!
Trapez: Es hat (mindestens) ein paralleles Seitenpaar, im Standardtrapez
sind dies die Seiten a und c. Der Abstand der parallelen Seiten ist die
Trapezhöhe h, mit der der Flächeninhalt berechnet werden kann:
A = 1 2 · (a + c) · h
(Der Flächeninhalt ist das halbe Produkt aus der Summe der Parallelseiten
und ihrem Abstand.)
Parallelogramm (Rechteck als Sonderfall): Kennzeichen sind zwei parallele
Seitenpaare, wodurch nur zwei verschiedene Seitenlängen (a = c ,
b = d) und Winkelgrößen (α = γ , β = δ) existieren. Die Diagonalen
halbieren einander, sie sind jedoch keine Winkelsymmetralen! Für den
Flächeninhalt gilt
A = a · h a = b · h b (Rechteck: A = a · b)
(h a bzw. h b sind die Abstände der parallelen Seiten)
Rhombus oder Raute (Quadrat als Spezialfall): Es handelt sich um ein
Parallelogramm mit gleich langen Seiten, sodass die Diagonalen Winkelsymmetralen
sind und aufeinander normal stehen. Der Flächeninhalt
lässt sich (auch) nach folgender Formel berechnen:
A = 1 2 · e · f
Deltoid (Drachenviereck): Es besteht aus zwei gleichschenkligen Dreiecken
mit gemeinsamer Basis, der Diagonalen f (die Eckpunkte A und C des
Vierecks sind die Scheitel der Dreiecke). Die Diagonalen stehen somit
normal aufeinander, e halbiert f und die Winkel α und γ (β und δ sind
gleich groß). Für die Fläche gilt – wie für alle Vierecke mit aufeinander
normal stehenden Diagonalen – die Rauten-Formel.
A
d
b
α = β
d
c
2
α
α
γ
2
D
δ
δ
e
a
h c
c
f
γ
c
2
β
γ
α
β
a
α + δ = β + γ = 180 ◦
e
2
f
2
c
α β α
a
α + β = 180 ◦
d = a
A
a
α
2
α
2 β
2
a
b
a
D
δ = β
c
B
f
2 e
β
b = c
a = b
β
b
C
γ
2
b
B
h
h a
C
Kreis: Er besteht aus allen Punkten der Ebene, die den gleichen Abstand
(Radius) r von einem festen (Mittel)Punkt M haben. Die Umfanglänge
und den Flächeninhalt erhält man nach den Formeln
u = 2rπ = dπ A = r 2 π = d2 π
(d . . . Kreisdurchmesser)
4
Die Tangenten stehen im jeweiligen Berührpunkt normal zum Radius,
alle Peripheriewinkel über einem Durchmesser sind rechte Winkel.
d
M
r
Tangente
c○ R. Scheiblhofer Seite 4 von 6

Trigonometrie des rechtwinkeligen Dreiecks
B20 Von einem gleichschenkeligen Dreieck △ABC kennt man den Schenkel a = 44,2 cm und den Basiswinkel
α = 73,2 ◦ . Wie groß sind die Seite c und die Höhen h a bzw. h c ?
B21 Von einem Trapez kennt man die Seiten b = 12,6 cm, c = 43,0 cm und d = 19,3 cm so wie den Winkel
α = 30,2 ◦ . Wie groß sind die Seite a, der Winkel β < 90 ◦ und der Flächeninhalt A?
B22 Parallelogramm: Der Winkel zwischen der Seite a = 50,7 cm und der Diagonale e = 77,2 cm beträgt
22,5 ◦ . Man berechne b und α.
B23 Warum gilt für ein Deltoid α = 180 ◦ − γ, wenn es einen Umkreis besitzt? (Ein Umkreis ist ein Kreis,
auf dem alle Eckpunkte eines Vielecks liegen.)
B24 Der Querschnitt eines 2,20 Meter hohen Damms ist ein gleichschenkeliges Trapez mit einem Böschungswinkel
von 36,0 ◦ . Wie breit ist die Basis, wenn die Dammkrone eine Breite von 2,10 Meter hat? Wie
viel Kubikmeter Erde enthält der Damm auf 10,0 Meter Länge? (Der Rauminhalt ist das Produkt aus
Querschnittsfläche und Dammlänge.)
B25 Zwei Kräfte F 1 = 6300 N und F 2 = 3850 N greifen in einem Punkt an. Welchen Betrag und welchen
Winkel zu F 1 hat die Resultierende, wenn F 1 und F 2 einen Winkel von 57,5 ◦ einschließen?
B26 Welche Winkel muss ein rechtwinkliges Dreieck haben, damit die Höhe die Hypotenuse im Verhältnis
3 : 4 teilt?
B27 Wie lang ist der Radius ρ des Inkreises eines Dreiecks mit der Seite c = 110 mm und den Winkeln
α = 52,1 ◦ und γ = 56,5 ◦ ? (Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelsymmetralen.)
B28 Welche Länge hat der Schatten einer Walze mit 65 Zentimeter Durchmesser bei einer Sonnenhöhe von
66 ◦ , wenn die Sonnenstrahlen normal zur Achse sind?
Übungsbeispiele:
Ü01 Die Winkel α und β sind zu berechnen bzw. ihre Abhängigkeit von ϕ ist anzugeben:
(a)
31 ◦
α 41 ◦
43 ◦ β
(b)
α
β
3
β
α
2
(c)
ϕ
β
α
ϕ
3
Ü02 Welche Regel für die Außenwinkel eines Dreiecks kann man aus Ü01(a) ableiten?
Ü03 Bei den folgenden rechtwinkeligen Dreiecken sind so weit wie möglich Winkelfunktionen anzuwenden:
(a) a = 23,5 mm, β = 40,5 ◦ b, h =? (b) h = 8,6 cm, α = 72,6 ◦ a, c =?
(c) a = 23,5 mm, b = 40,5 mm α, h =? (d) h = 18,6 cm, b = 34,8 cm a, β =?
(e) c = 330 mm, α = 39,6 ◦ A =? (f) b = 3h, a = 50,8 cm b =?
Ü04 Man berechne die gesuchten Größen:
(a) glsch△ABC: c, h a =? für
(b) glsch△ABC: a, c, α =? für
a = 33,7 cm, γ = 37,6 ◦ h b = 16,5 cm, h c = 25,7 cm
(c) △ABC: a, b, γ =? für
(d) Parallelogramm ABCD: a, α, A =? für
c = 50,6 cm, h c = 36,8 cm, β = 113,4 ◦ b = 42.6 cm, e = 58,3 cm, (b, e) = 36,2 ◦
(e) Trapez ABCD: a = 35,7 cm, e = 28,2 cm, f = 41,0 cm, e ⊥ f b, c, d, α, β
c○ R. Scheiblhofer Seite 5 von 6

Trigonometrie des rechtwinkeligen Dreiecks
Ü05 In einem Trapez ist die längere der Parallelseiten doppelt so lang wie die kürzere, nämlich 128 mm. Wie
groß sind die schrägen Seiten, wenn diese gleich lang sind und der Flächeninhalt 29,0 Quadratzentimeter
beträgt? Wie lang sind die Diagonalen?
Ü06 Eine Kraft F ist so in zwei aufeinander normal stehende Komponenten zu zerlegen, dass eine der
Teilkräfte um ein Drittel kleiner als F ist. Welchen Winkel schließt diese Komponente mit F ein?
Ü07 Von zwei Kräften F 1 = 335 N und F 2 = 172 N, deren Wirkungslinien einen Winkel von 37,0 ◦ bilden,
ist die Resultierende zu berechnen.
Ü08 Das Gewinde einer Schraube entspricht einer aufgewickelten schiefen Ebene. Welchen Steigungswinkel
hat das Gewinde einer Schraube M30 (30 mm Außendurchmesser) mit einer Steigung von 3,5 mm?
Ü09 In welcher Höhe explodierte ein Feuerwerkskörper, dessen Donnerschlag man 4 Zehntelsekunden nach
dem Explosionsblitz hörte und den man zuletzt unter einem Höhenwinkel von 54 ◦ sah?
(Augenhöhe h ≈ 1,65 m, Schallgeschwindigkeit c ≈ 330 m / s)
Ü10 Mit welcher Geschwindigkeit rotiert ein Linzer um die Erdachse, wenn die Erde als Kugel mit einem
Radius von 6,38·10 3 km angenommen wird und die geografische Breite von Linz ca. 48,3 ◦ Nord beträgt?
Ü11 Unter welchem Sehwinkel sieht ein Astronaut die ”
Erdkugel“, wenn seine Entfernung von der Erdoberfläche
sieben Erdradien beträgt? Wie groß müsste der Durchmesser einer Kreisscheibe, die er in
Armeslänge (ca. 65 cm) vor sich hält, mindestens sein, um mit ihr die Erdscheibe abzudecken?
Ü12 Ein Betrachter (Augenhöhe etwa 180 cm) kann die Spitze des Linzer Doms in der Bischofstraße unter
einem Höhenwinkel von 24,0 ◦ sehen, vom Donauufer beim neuen Rathaus aus, rund 650 m weiter weg
als in der Bischofsstraße, unter einem Höhenwinkel von 8,0 ◦ . Wie hoch ist der Mariendom unter der
Annahme, dass die Standorte auf gleicher Höhe sind?
Ü13 Welchen Durchmesser hat eine auf dem Tisch liegende, praktisch kugelförmige Orange, wenn sie gerade
unter einer kegelförmigen Tüte mit 11,2 cm Durchmesser und 19,2 cm Höhe Platz hat?
Ü14 Die Maßangaben in den folgenden, nicht maßstabsgetreuen Skizzen sind in Metern.
(a) Wie viel Kilogramm Farbe sind für den Anstrich
der Gebäudefront nötig, wenn man
pro Quadratmeter mit 25 Dekagramm Farbe
rechnet?
3,75
24,0 ◦
50,0 ◦
5,60
7,40
(b) Gesucht sind die Stablängen s k und die Winkel
α und β des Fachwerks:
2,10
10,08
s 5
α s 2 s 3 s 4
s 1
β
= = 3,36
4,20
12,56
Ü15 Und noch ein Beispiel für Mathe-Tüftler: Bei Beispiel B03 stehen die Seiten in einem ganzzahligen
Verhältnis (a : b : c = 7 : 5 : 8) zueinander. Man probiere, ob es weitere, dem gegebenen Dreieck aber
nicht ähnliche Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen und einem 60 ◦ -Winkel gibt.
Anregung: Eine möglichst einfache Berechnungsformel für die Seite a aufstellen, dann führt das Probieren
rasch zu einem Ergebnis.
c○ R. Scheiblhofer Seite 6 von 6