Trigonometrie des rechtwinkeligen Dreiecks - oeppi

Trigonometrie des rechtwinkeligen Dreiecks
Wir wiederholen einige wichtige geometrische Figuren, ihre Bezeichnungen, Merkmale und Eigenschaften:
gleichschenkeliges Dreieck (glsch△ABC): a und b sind die gleichlangen
Schenkel, c ist die Basis des Dreiecks. Dementsprechend sind α und
β die Basis- und γ der Scheitelwinkel. Letzterer wird ebenso wie die
Basis durch die Höhe h c halbiert.
Viereck: Die Bezeichnungen erfolgen wieder entgegen dem Uhrzeigersinn,
die Seiten liegen aber den entsprechenden Winkeln an (die Winkelsumme
beträgt 360 ◦ ). Neben den Seiten als Eckenverbindungen gibt
es die Diagonalen e = AC und f = BD (bei Rechtecken und Quadraten
werden die (gleich langen) Diagonalen mit d bezeichnet). Achtung:
Vierecke sind bei gleichen Winkeln nicht automatisch ähnlich!
Trapez: Es hat (mindestens) ein paralleles Seitenpaar, im Standardtrapez
sind dies die Seiten a und c. Der Abstand der parallelen Seiten ist die
Trapezhöhe h, mit der der Flächeninhalt berechnet werden kann:
A = 1 2 · (a + c) · h
(Der Flächeninhalt ist das halbe Produkt aus der Summe der Parallelseiten
und ihrem Abstand.)
Parallelogramm (Rechteck als Sonderfall): Kennzeichen sind zwei parallele
Seitenpaare, wodurch nur zwei verschiedene Seitenlängen (a = c ,
b = d) und Winkelgrößen (α = γ , β = δ) existieren. Die Diagonalen
halbieren einander, sie sind jedoch keine Winkelsymmetralen! Für den
Flächeninhalt gilt
A = a · h a = b · h b (Rechteck: A = a · b)
(h a bzw. h b sind die Abstände der parallelen Seiten)
Rhombus oder Raute (Quadrat als Spezialfall): Es handelt sich um ein
Parallelogramm mit gleich langen Seiten, sodass die Diagonalen Winkelsymmetralen
sind und aufeinander normal stehen. Der Flächeninhalt
lässt sich (auch) nach folgender Formel berechnen:
A = 1 2 · e · f
Deltoid (Drachenviereck): Es besteht aus zwei gleichschenkligen Dreiecken
mit gemeinsamer Basis, der Diagonalen f (die Eckpunkte A und C des
Vierecks sind die Scheitel der Dreiecke). Die Diagonalen stehen somit
normal aufeinander, e halbiert f und die Winkel α und γ (β und δ sind
gleich groß). Für die Fläche gilt – wie für alle Vierecke mit aufeinander
normal stehenden Diagonalen – die Rauten-Formel.
A
d
b
α = β
d
c
2
α
α
γ
2
D
δ
δ
e
a
h c
c
f
γ
c
2
β
γ
α
β
a
α + δ = β + γ = 180 ◦
e
2
f
2
c
α β α
a
α + β = 180 ◦
d = a
A
a
α
2
α
2 β
2
a
b
a
D
δ = β
c
B
f
2 e
β
b = c
a = b
β
b
C
γ
2
b
B
h
h a
C
Kreis: Er besteht aus allen Punkten der Ebene, die den gleichen Abstand
(Radius) r von einem festen (Mittel)Punkt M haben. Die Umfanglänge
und den Flächeninhalt erhält man nach den Formeln
u = 2rπ = dπ A = r 2 π = d2 π
(d . . . Kreisdurchmesser)
4
Die Tangenten stehen im jeweiligen Berührpunkt normal zum Radius,
alle Peripheriewinkel über einem Durchmesser sind rechte Winkel.
d
M
r
Tangente
c○ R. Scheiblhofer Seite 4 von 6