Trigonometrie des rechtwinkeligen Dreiecks - oeppi

Trigonometrie des rechtwinkeligen Dreiecks
Die folgenden Beispiele sind noch ohne Winkelberechnung zu lösen (später kann man ja die Probe machen).
B11 Wenn sin α = 0,6 gilt, welche Werte haben dann Kosinus und Tangens von α ?
B12 Für β gilt tan β = 7 / 24 . Man berechne Sinus und Kosinus dieses Winkels.
B13 Der Sinus von 35,1 ◦ beträgt ungefähr 0,575 . Welcher Winkel hat den gleichen Kosinuswert?
B14 Für Mathe -Tüftler: Wenn der Sinus eines Winkels 8 / 17 beträgt, wie groß ist dann der Tangens des halb
so großen Winkels? (Überlege, wie man eine Kathete verlängern muss, um den Winkel zwischen ihr
und der Hypotenuse zu halbieren.)
Ergänzung der Winkelfunktionswerte für 0 ◦ und 90 ◦ . Obwohl es natürlich keine rechtwinkeligen Dreiecke
mit einem Null-Grad-Winkel oder zwei rechten Winkel gibt, wird damit der Tendenz der Winkelfunktionswerte
bei Annäherung an diese beiden Winkel Rechnung getragen (damit werden auch
Überschlagsrechnungen erleichtert):
sin 0 ◦ = cos 90 ◦ := 0 sin 90 ◦ = cos 0 ◦ := 1 tan 0 ◦ := 0
Für 90 ◦ lässt sich kein Tangenswert definieren, es gibt keinen größten Wert für den Tangens!
Arcusfunktionen sind die Umkehrungen der Winkelfunktionen; sie
liefern zu einem Winkelfunktionswert den zugehörigen Winkel:
}
Arcussinus: arcsin x = ϕ :⇔ sin ϕ = x
für 0 ≤ x ≤ 1
Arcuskosinus: arccos x = ϕ :⇔ cos ϕ = x
Arcustangens: arctan x = ϕ :⇔ tan ϕ = x für x ≥ 0
Bemerkung: Am Taschenrechner (und nicht nur dort) findet
man anstelle der arc. . . -Schreibung die Bezeichnungen sin −1 ,
cos −1 und tan −1 . Obwohl diese Schreibweise ebenfalls möglich
ist, wollen wir die eingeführten Bezeichnungen verwenden, um
eine Verwechslung mit der Kehrwertbildung (!) gar nicht erst
aufkommen zu lassen.
arcsin 0,5 = 30 ◦
tan 69,4 ≈ 2,66
arctan 2,66 ≈ 69,4 ◦
sin −1 x = arcsin x
sin −1 x ≠ 1
sin x
B15 In einem rechtwinkeligen Dreieck ist die Kathete a 78 mm lang, die Hypotenuse c misst 113 mm . Wie
groß ist der Winkel α ?
B16 Welchen Winkel schließen in einem Rechteck mit den Seiten a = 12,8 cm und b = 8,2 cm die Diagonale
und die Seite a ein?
B17 Überprüfe die gemessenen Winkel von Beispiel B03 durch Rechnung.
B18 Welchem Steigungswinkel entspricht eine Steigung von 5,0 %?
B19 Zwei aufeinander normal stehende Kräfte F 1 = 760 N und F 2 = 570 N greifen in einem Punkt an.
Welchen Betrag hat die Resultierende und wie groß ist der Winkel zwischen ihr und F 1 ?
Tipps zur Anwendung: Am besten behandelt man trigonometrische Aufgaben nach folgendem Schema:
Beteiligte Seitenarten (Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse) feststellen → die Definition der für diese
Seiten ”
zuständigen“ Winkelfunktion anschreiben → auf die gesuchte Größe umformen. Auf diese Weise
zuerst alle Berechnungsformeln zusammenstellen und dann erst auswerten. Dabei mehrmals benutzte
Größen zur Vermeidung unnötiger Rundungsfehler speichern und darauf achten, dass die Ergebnisse
nie genauer als die Eingangsdaten sein können!
Wegen des häufigen Gebrauchs sollte man sich Folgendes unbedingt aneignen: Werden Sinus oder
Kosinus zur Berechnung verwendet (die Hypotenuse ist gegeben oder gesucht), so kann man auf das
Anschreiben der Definition wegen der Größenordnung dieser Werte (< 1) verzichten: Bei der Multiplikation
mit diesen Winkelfunktionswerten erhält man eine kürzere Seite (muss die Kathete sein), beim
Dividieren eine längere (die Hypotenuse eben).
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