Trigonometrie des rechtwinkeligen Dreiecks - oeppi

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Trigonometrie des rechtwinkeligen Dreiecks Wir wiederholen einige wichtige geometrische Figuren, ihre Bezeichnungen, Merkmale und Eigenschaften: gleichschenkeliges Dreieck (glsch△ABC): a und b sind die gleichlangen Schenkel, c ist die Basis des Dreiecks. Dementsprechend sind α und β die Basis- und γ der Scheitelwinkel. Letzterer wird ebenso wie die Basis durch die Höhe h c halbiert. Viereck: Die Bezeichnungen erfolgen wieder entgegen dem Uhrzeigersinn, die Seiten liegen aber den entsprechenden Winkeln an (die Winkelsumme beträgt 360 ◦ ). Neben den Seiten als Eckenverbindungen gibt es die Diagonalen e = AC und f = BD (bei Rechtecken und Quadraten werden die (gleich langen) Diagonalen mit d bezeichnet). Achtung: Vierecke sind bei gleichen Winkeln nicht automatisch ähnlich! Trapez: Es hat (mindestens) ein paralleles Seitenpaar, im Standardtrapez sind dies die Seiten a und c. Der Abstand der parallelen Seiten ist die Trapezhöhe h, mit der der Flächeninhalt berechnet werden kann: A = 1 2 · (a + c) · h (Der Flächeninhalt ist das halbe Produkt aus der Summe der Parallelseiten und ihrem Abstand.) Parallelogramm (Rechteck als Sonderfall): Kennzeichen sind zwei parallele Seitenpaare, wodurch nur zwei verschiedene Seitenlängen (a = c , b = d) und Winkelgrößen (α = γ , β = δ) existieren. Die Diagonalen halbieren einander, sie sind jedoch keine Winkelsymmetralen! Für den Flächeninhalt gilt A = a · h a = b · h b (Rechteck: A = a · b) (h a bzw. h b sind die Abstände der parallelen Seiten) Rhombus oder Raute (Quadrat als Spezialfall): Es handelt sich um ein Parallelogramm mit gleich langen Seiten, sodass die Diagonalen Winkelsymmetralen sind und aufeinander normal stehen. Der Flächeninhalt lässt sich (auch) nach folgender Formel berechnen: A = 1 2 · e · f Deltoid (Drachenviereck): Es besteht aus zwei gleichschenkligen Dreiecken mit gemeinsamer Basis, der Diagonalen f (die Eckpunkte A und C des Vierecks sind die Scheitel der Dreiecke). Die Diagonalen stehen somit normal aufeinander, e halbiert f und die Winkel α und γ (β und δ sind gleich groß). Für die Fläche gilt – wie für alle Vierecke mit aufeinander normal stehenden Diagonalen – die Rauten-Formel. A d b α = β d c 2 α α γ 2 D δ δ e a h c c f γ c 2 β γ α β a α + δ = β + γ = 180 ◦ e 2 f 2 c α β α a α + β = 180 ◦ d = a A a α 2 α 2 β 2 a b a D δ = β c B f 2 e β b = c a = b β b C γ 2 b B h h a C Kreis: Er besteht aus allen Punkten der Ebene, die den gleichen Abstand (Radius) r von einem festen (Mittel)Punkt M haben. Die Umfanglänge und den Flächeninhalt erhält man nach den Formeln u = 2rπ = dπ A = r 2 π = d2 π (d . . . Kreisdurchmesser) 4 Die Tangenten stehen im jeweiligen Berührpunkt normal zum Radius, alle Peripheriewinkel über einem Durchmesser sind rechte Winkel. d M r Tangente c○ R. Scheiblhofer Seite 4 von 6
Trigonometrie des rechtwinkeligen Dreiecks B20 Von einem gleichschenkeligen Dreieck △ABC kennt man den Schenkel a = 44,2 cm und den Basiswinkel α = 73,2 ◦ . Wie groß sind die Seite c und die Höhen h a bzw. h c ? B21 Von einem Trapez kennt man die Seiten b = 12,6 cm, c = 43,0 cm und d = 19,3 cm so wie den Winkel α = 30,2 ◦ . Wie groß sind die Seite a, der Winkel β < 90 ◦ und der Flächeninhalt A? B22 Parallelogramm: Der Winkel zwischen der Seite a = 50,7 cm und der Diagonale e = 77,2 cm beträgt 22,5 ◦ . Man berechne b und α. B23 Warum gilt für ein Deltoid α = 180 ◦ − γ, wenn es einen Umkreis besitzt? (Ein Umkreis ist ein Kreis, auf dem alle Eckpunkte eines Vielecks liegen.) B24 Der Querschnitt eines 2,20 Meter hohen Damms ist ein gleichschenkeliges Trapez mit einem Böschungswinkel von 36,0 ◦ . Wie breit ist die Basis, wenn die Dammkrone eine Breite von 2,10 Meter hat? Wie viel Kubikmeter Erde enthält der Damm auf 10,0 Meter Länge? (Der Rauminhalt ist das Produkt aus Querschnittsfläche und Dammlänge.) B25 Zwei Kräfte F 1 = 6300 N und F 2 = 3850 N greifen in einem Punkt an. Welchen Betrag und welchen Winkel zu F 1 hat die Resultierende, wenn F 1 und F 2 einen Winkel von 57,5 ◦ einschließen? B26 Welche Winkel muss ein rechtwinkliges Dreieck haben, damit die Höhe die Hypotenuse im Verhältnis 3 : 4 teilt? B27 Wie lang ist der Radius ρ des Inkreises eines Dreiecks mit der Seite c = 110 mm und den Winkeln α = 52,1 ◦ und γ = 56,5 ◦ ? (Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelsymmetralen.) B28 Welche Länge hat der Schatten einer Walze mit 65 Zentimeter Durchmesser bei einer Sonnenhöhe von 66 ◦ , wenn die Sonnenstrahlen normal zur Achse sind? Übungsbeispiele: Ü01 Die Winkel α und β sind zu berechnen bzw. ihre Abhängigkeit von ϕ ist anzugeben: (a) 31 ◦ α 41 ◦ 43 ◦ β (b) α β 3 β α 2 (c) ϕ β α ϕ 3 Ü02 Welche Regel für die Außenwinkel eines Dreiecks kann man aus Ü01(a) ableiten? Ü03 Bei den folgenden rechtwinkeligen Dreiecken sind so weit wie möglich Winkelfunktionen anzuwenden: (a) a = 23,5 mm, β = 40,5 ◦ b, h =? (b) h = 8,6 cm, α = 72,6 ◦ a, c =? (c) a = 23,5 mm, b = 40,5 mm α, h =? (d) h = 18,6 cm, b = 34,8 cm a, β =? (e) c = 330 mm, α = 39,6 ◦ A =? (f) b = 3h, a = 50,8 cm b =? Ü04 Man berechne die gesuchten Größen: (a) glsch△ABC: c, h a =? für (b) glsch△ABC: a, c, α =? für a = 33,7 cm, γ = 37,6 ◦ h b = 16,5 cm, h c = 25,7 cm (c) △ABC: a, b, γ =? für (d) Parallelogramm ABCD: a, α, A =? für c = 50,6 cm, h c = 36,8 cm, β = 113,4 ◦ b = 42.6 cm, e = 58,3 cm, (b, e) = 36,2 ◦ (e) Trapez ABCD: a = 35,7 cm, e = 28,2 cm, f = 41,0 cm, e ⊥ f b, c, d, α, β c○ R. Scheiblhofer Seite 5 von 6
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