Trigonometrie des rechtwinkeligen Dreiecks - oeppi

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Trigonometrie des rechtwinkeligen Dreiecks a b = a′ b ′ bzw. a c = a′ c ′ bzw. b c = b′ c ′ Da durch Vorgabe von zwei Winkeln (z.B. α und γ) der dritte bereits festliegt, sind die Verhältniszahlen nur von diesen beiden Winkeln abhängig (a ≠ a 1 ). Wählt man nun einen der beiden für alle Dreiecke gleich, so sind die Seitenverhältnisse charakteristisch für einen Winkel. Winkelfunktionswerte für einen Winkel ϕ ≠ 90 ◦ eines rechtwinkeligen Dreiecks. Das Verhältnis der dem Winkel ∗ gegenüberliegenden Kathete zur Hypotenuse heißt Sinus: sin ϕ := GK H ∗ anliegenden Kathete zur Hypotenuse heißt Kosinus: cos ϕ := AK H ∗ gegenüber- zur anliegenden Kathete heißt Tangens: tan ϕ := GK AK b Ähnlichkeit: Haben zwei Dreiecke die gleichen Winkeln, so sind sie ähnlich. Für uns wichtig ist die Eigenschaft, dass die Seiten- verhältnisse bei ähnlichen Dreiecken einander entsprechen: α α c b ′ AK ϕ γ c ′ H γ 1 a γ 1 γ a 1 a ′ 1 a ′ GK Den Kehrwert des Tangens nennt man Kotangens (cot ϕ), er ist für die Geometrie entbehrlich. B08 Für die Berechnung der folgenden rechtwinkeligen Dreiecke △ABC sind vorwiegend Winkelfunktionen zu verwenden: (a) b = 3,4 cm α = 41,0 ◦ c, h =? (b) h = 271 mm β = 52,0 ◦ a, c =? (c) Umfang u = 68,3 cm a, b, c =? α = 35,7 ◦ (d) A = 374 cm 2 β = 71,4 ◦ a, c =? B09 Bei einer Sonnenhöhe von 75,0 ◦ wirft eine senkrecht gehaltene Holzlatte einen 75 Zentimeter weiten Schatten. Wie lange ist der Schatten, wenn man die Latte um 45 ◦ in Schattenrichtung neigt? B10 Wie groß ist die Seite eines regelmäßigen Fünfecks, dessen Höhe 31,7 Zentimeter misst? Eigenschaften der Winkelfunktionen: Die Sinus- und Kosinus- 0 < sin ϕ , cos ϕ < 1 werte sind stets kleiner als eins, die Tangenswerte hingegen können beliebig groß werden. Der Tangens ist auch das Verhältnis von Sinus und Kosinus. 0 < tan ϕ = sin ϕ cos ϕ < ∞ Wegen des Satzes von Pythagoras gilt: sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1 sin 2 ϕ = (sin ϕ) 2 Winkelfunktionswerte besonderer Winkel: sin 30 ◦ = cos 60 ◦ = 1 / 2 sin 45 ◦ = cos 45 ◦ = √ 2/ 2 ≈ 0,707 sin 60 ◦ = cos 30 ◦ = √ 3/ 2 ≈ 0,866 tan 30 ◦ = √ 3/ 3 ≈ 0,577 tan 45 ◦ = 1 tan 60 ◦ = √ 3 ≈ 1,732 Komplementärwinkel (zwei Winkel sind komplementär, wenn ihre Summe 90 ◦ ergibt): sin(90 ◦ − ϕ) = cos ϕ cos(90 ◦ − ϕ) = sin ϕ tan(90 ◦ − ϕ) = cot ϕ = 1 / tan ϕ c○ R. Scheiblhofer Seite 2 von 6
Trigonometrie des rechtwinkeligen Dreiecks Die folgenden Beispiele sind noch ohne Winkelberechnung zu lösen (später kann man ja die Probe machen). B11 Wenn sin α = 0,6 gilt, welche Werte haben dann Kosinus und Tangens von α ? B12 Für β gilt tan β = 7 / 24 . Man berechne Sinus und Kosinus dieses Winkels. B13 Der Sinus von 35,1 ◦ beträgt ungefähr 0,575 . Welcher Winkel hat den gleichen Kosinuswert? B14 Für Mathe -Tüftler: Wenn der Sinus eines Winkels 8 / 17 beträgt, wie groß ist dann der Tangens des halb so großen Winkels? (Überlege, wie man eine Kathete verlängern muss, um den Winkel zwischen ihr und der Hypotenuse zu halbieren.) Ergänzung der Winkelfunktionswerte für 0 ◦ und 90 ◦ . Obwohl es natürlich keine rechtwinkeligen Dreiecke mit einem Null-Grad-Winkel oder zwei rechten Winkel gibt, wird damit der Tendenz der Winkelfunktionswerte bei Annäherung an diese beiden Winkel Rechnung getragen (damit werden auch Überschlagsrechnungen erleichtert): sin 0 ◦ = cos 90 ◦ := 0 sin 90 ◦ = cos 0 ◦ := 1 tan 0 ◦ := 0 Für 90 ◦ lässt sich kein Tangenswert definieren, es gibt keinen größten Wert für den Tangens! Arcusfunktionen sind die Umkehrungen der Winkelfunktionen; sie liefern zu einem Winkelfunktionswert den zugehörigen Winkel: } Arcussinus: arcsin x = ϕ :⇔ sin ϕ = x für 0 ≤ x ≤ 1 Arcuskosinus: arccos x = ϕ :⇔ cos ϕ = x Arcustangens: arctan x = ϕ :⇔ tan ϕ = x für x ≥ 0 Bemerkung: Am Taschenrechner (und nicht nur dort) findet man anstelle der arc. . . -Schreibung die Bezeichnungen sin −1 , cos −1 und tan −1 . Obwohl diese Schreibweise ebenfalls möglich ist, wollen wir die eingeführten Bezeichnungen verwenden, um eine Verwechslung mit der Kehrwertbildung (!) gar nicht erst aufkommen zu lassen. arcsin 0,5 = 30 ◦ tan 69,4 ≈ 2,66 arctan 2,66 ≈ 69,4 ◦ sin −1 x = arcsin x sin −1 x ≠ 1 sin x B15 In einem rechtwinkeligen Dreieck ist die Kathete a 78 mm lang, die Hypotenuse c misst 113 mm . Wie groß ist der Winkel α ? B16 Welchen Winkel schließen in einem Rechteck mit den Seiten a = 12,8 cm und b = 8,2 cm die Diagonale und die Seite a ein? B17 Überprüfe die gemessenen Winkel von Beispiel B03 durch Rechnung. B18 Welchem Steigungswinkel entspricht eine Steigung von 5,0 %? B19 Zwei aufeinander normal stehende Kräfte F 1 = 760 N und F 2 = 570 N greifen in einem Punkt an. Welchen Betrag hat die Resultierende und wie groß ist der Winkel zwischen ihr und F 1 ? Tipps zur Anwendung: Am besten behandelt man trigonometrische Aufgaben nach folgendem Schema: Beteiligte Seitenarten (Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse) feststellen → die Definition der für diese Seiten ” zuständigen“ Winkelfunktion anschreiben → auf die gesuchte Größe umformen. Auf diese Weise zuerst alle Berechnungsformeln zusammenstellen und dann erst auswerten. Dabei mehrmals benutzte Größen zur Vermeidung unnötiger Rundungsfehler speichern und darauf achten, dass die Ergebnisse nie genauer als die Eingangsdaten sein können! Wegen des häufigen Gebrauchs sollte man sich Folgendes unbedingt aneignen: Werden Sinus oder Kosinus zur Berechnung verwendet (die Hypotenuse ist gegeben oder gesucht), so kann man auf das Anschreiben der Definition wegen der Größenordnung dieser Werte (< 1) verzichten: Bei der Multiplikation mit diesen Winkelfunktionswerten erhält man eine kürzere Seite (muss die Kathete sein), beim Dividieren eine längere (die Hypotenuse eben). c○ R. Scheiblhofer Seite 3 von 6
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