Lösung 4

Man kann dies nun mit DGL-Wissen aus vorigen Semestern lösen. Wir machen es hier noch
einmal explizit:
Ansatz
Setzt man das ein:
I(t) =Ae λt
˙I(t) =Aλe λt
Ï(t) =Aλ 2 e λt
Aλ 2 e λt + A R
L eλt + A 1
LC eλt =0
λ 2 + R 1
λ +
L LC =0
λ1,2 = − R
± i
2L
1
LC −
Hier wurde schon ein Minus in der Wurzel herausgezogen, daher das i davor. Wir wissen noch,
dass es hier drei Fälle zu unterscheiden gilt, je nach Vorzeichen des Radikanden - im Schwingfall
muss 1
LC >
R 2
sein. Diesen Fall betrachten wir hier. Die Kreisfrequenz ist dann auch
2L
ω =
1
LC −
Die Lösung der DGL ist nun eine Linearkombination aus dem Ansatz mit beiden λ.
R
2L
2
I(t) = A 1e λ 1t + A2e λ 2t
Wir können nun eine Funktion für die Ladung daraus integrieren
Q(t) = A1 e
λ1 λ A
1t 2
+ e
λ2 λ2t Um A 1 und A 2 zu bestimmen, benötigt man sinnvolle Anfangsbedingungen. Wir nehmen mal
an, dass Q(0) = Q 0 und I(0) = 0 (entspricht einem geladenen Kondensator).
I(0) =0 = C 1 + C 2
Q(0) =Q0 = C1 +
λ1 C2 λ2 R
2L
2
3