Komplexe halbeinfache Lie-Algebren

Komplexe halbeinfache Lie-Algebren
Dipl.-Inform. Wolfgang Globke
Institut für Algebra und Geometrie
Arbeitsgruppe Differentialgeometrie
Karlsruher Institut für Technologie
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Levi-Zerlegung
Es sei g eine komplexe Lie-Algebra und dim g < ∞.
Dann gilt
g = s ⊕ r,
wobei
s halbeinfach ist,
d.h. die Killing-Form von s ist nicht ausgeartet,
r auflösbar ist,
d.h. die Killing-Form ist ausgeartet mit Radikal [r, r].
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Auflösbar vs. halbeinfach
Unterschiedliches Verhalten von auflösbaren und halbeinfachen
Lie-Algebren:
g auflösbar:
g halbeinfach:
g ⊃ [g, g] ⊃ [[g, g], [g, g]] ⊃ . . . ⊃ {0}.
g = [g, g] = [g, [g, g]] = . . .
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Beispiele
Auflösbar:
Abelsche Lie-Algebren, insbesondere Lie-Algebren von
Diagonalmatrizen.
Die Heisenberg-Algebra.
Lie-Algebren von oberen Dreiecksmatrizen.
Halbeinfach:
Die klassischen Lie-Algebren sl n (C), so n (C), sp n (C).
Weder noch:
gl n (C) hat die Levi-Zerlegung
gl n (C) = sl n (C) ⊕ C.
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Charakterisierung halbeinfacher Lie-Algebren
Ein Ideal h in g ist eine Unteralgebra, die
erfüllt.
[g, h] ⊆ h
Eine Lie-Algebra g heißt einfach, wenn sie keine Ideale (außer
{0} und g selbst) besitzt.
Cartan-Kriterium:
Eine Lie-Algebra g ist genau dann halbeinfach, wenn sie eine
direkte Summe von einfachen Idealen g 1 , . . . , g k ist:
und [g i , g j ] = {0} für i ≠ j.
g = g 1 ⊕ . . . ⊕ g k ,
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sl n (C) als Modell einer einfachen Lie-Algebra
Die Lie-Algebra
sl n (C) = {X ∈ C n×n | tr(X ) = 0}
ist einfach.
An ihr lassen sich alle Struktureigenschaften einfacher Lie-Algebren
demonstrieren.
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Elementarmatrizen
Elementarmatrix:
⎛
⎞
0
.
0
E ij =
0 · · · 0 1 0 · · · 0
, D ij = E ii − E jj .
0
⎜
⎟
⎝
.
⎠
0
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Zerlegung von sl n (C)
sl n (C) lässt sich in spezielle Unteralgebren zerlegen:
sl n (C) = a ⊕ n + ⊕ n − .
⎛
⎞
{ λ 1 0
⎜
a = ⎝
. ..
⎟
⎠ ∣ ∑ }
λ i = 0 = 〈D ij 〉,
0 λ n
⎛ ⎞
{ 0 ∗ }
n + ⎜
= ⎝
. ..
⎟
⎠ = 〈E ij | i < j〉,
0 0
⎛ ⎞
{ 0 0 }
n − ⎜
= ⎝
. ..
⎟
⎠ = 〈E ij | i > j〉.
∗ 0
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Cartan-Unteralgebra
Die abelsche Algebra a der Diagonalmatrizen mit Spur 0 ist
die Cartan-Unteralgebra von sl n (C).
Für D = diag(λ 1 , . . . , λ n ) ∈ a gilt:
ad(D)E ij = [D, E ij ] = (λ i − λ j )E ij .
Also ist E ij Eigenvektor von ad(D) zum Eigenwert λ i − λ j .
Außerdem liegt a im Eigenraum von ad(D) zum Eigenwert 0.
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Wurzelzerlegung (I)
Definiere α ij ∈ a ∗ (i ≠ j) durch
Die α ij heißen Wurzeln von a.
α ij (D) = λ i − λ j .
Eine Wurzel repräsentiert einen Satz von simultanen
Eigenwerten für alle ad(D), D ∈ a.
Die Zerlegung sl n (C) = a ⊕ n + ⊕ n − lässt sich zu einer
Zerlegung in simultane Eigenräume für alle D ∈ a verfeinern:
sl n (C) = a ⊕
⊕
g α .
Dies ist die Wurzelzerlegung.
α Wurzel
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Wurzelzerlegung (II)
In der Wurzelzerlegung
sl n (C) = a ⊕
⊕
α Wurzel
ist g α der Raum
g α = {X ∈ sl n (C) | ad(D)X = α(D)X für alle D ∈ a}.
Außerdem gilt
a = g 0 = {X ∈ sl n (C) | ad(D)X = 0 für alle D ∈ a},
da a maximal abelsch ist.
g α
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Eigenschaften der Wurzeln
Für jede Wurzel α = α ij gilt
g αij = 〈E ij 〉.
Insbesondere dim g α = 1 für alle Wurzeln α.
Es gilt
[E ij , E kl ] = δ jk E il − δ li E kj .
Folge: Für alle Wurzeln α, β gilt:
[g α , g β ] = g α+β .
Dann ist entweder g α+β = {0}, oder α + β ist ebenfalls
Wurzel.
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Wurzelzerlegung (III)
Für jede Wurzel α = α ij existiert eine Wurzel −α = α ji , und
es gilt
[g α , g −α ] ⊂ g 0 = a.
Konkret:
[E ij , E ji ] = E ii − E jj = D ij ∈ a.
Die Menge R aller Wurzeln lässt sich nun zerlegen:
wobei
R = R + ∪ R − ,
α ∈ R + ⇔ −α ∈ R − .
Die Wurzelzerlegung lässt sich weiter verfeinern:
sl n (C) = a ⊕ ⊕
α∈R + (g α ⊕ g −α )
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sl 2 (C) ist allgegenwärtig
Beobachtung:
Für alle Wurzeln α und X α ∈ g α , Y α ∈ g −α ,
H α = [X α , Y α ] ∈ a gilt:
[H α , X α ] = 2X α , [H α , Y α ] = −2Y α , [X α , Y α ] = H α .
Also:
s α := 〈H〉 ⊕ g α ⊕ g −α
∼ = sl2 (C).
Folge:
sl n (C) lässt als Summe von Kopien von sl 2 (C) schreiben:
sl n (C) = ∑
α∈R + s α .
Im Allgemeinen ist diese Summe nicht direkt, denn
H α+β = H α + H β , sofern α + β ∈ R.
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Wurzelsysteme (I)
Es sei g eine beliebige komplexe halbeinfache Lie-Algebra.
Die Ergebnisse über sl n (C) lassen sich analog auf g
übertragen.
Insbesondere
g = ∑
α∈R + s α .
Wenn nun jedes g Summe von sl 2 (C)-Kopien ist, wodurch
unterscheiden sich halbeinfache Lie-Algebren?
Durch die Aktion der Cartan-Algebra a.
Genauer: Durch die Struktur ihrer Wurzelsysteme R.
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Wurzelsysteme (I)
Es sei g eine beliebige komplexe halbeinfache Lie-Algebra.
Die Ergebnisse über sl n (C) lassen sich analog auf g
übertragen.
Insbesondere
g = ∑
α∈R + s α .
Wenn nun jedes g Summe von sl 2 (C)-Kopien ist, wodurch
unterscheiden sich halbeinfache Lie-Algebren?
Durch die Aktion der Cartan-Algebra a.
Genauer: Durch die Struktur ihrer Wurzelsysteme R.
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Wurzelsysteme (II)
Die Wurzeln erzeugen den Dualraum a ∗ von a.
Da [g α , g β ] = g α+β , sind die Wurzeln ganzzahlige
Linearkombinationen einer Basis von a ∗ , die selbst aus
Wurzeln besteht.
Folge:
Wenn dim a = r, so wird das Wurzelsystem von r Elementen
erzeugt. Daher heißt r der Rang von R bzw. von g.
Die Killing-Form induziert ein Skalarprodukt auf a und somit
auf a ∗ . Dieses Skalarprodukt liefert geometrische
Beschränkungen für die Struktur der Wurzelsysteme.
Somit ist eine vollständige Klassifikation der Wurzelsysteme
möglich.
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Klassifikation
Typ g dim g
A n sl n+1 (C) n ≥ 1 n 2 + 2n
B n o 2n+1 (C) n ≥ 2 2n 2 + n
C n sp n (C) n ≥ 3 2n 2 + n
D n o 2n (C) n ≥ 4 2n 2 − n
G 2 - 14
F 4 - 52
E 6 - 72
E 7 - 133
E 8 - 248
Außerdem: A 1 = B 1 = C 1 , B 2 = C 2 und A 3 = D 3 .
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Wurzelsysteme: A 1
Die Lie-Algebra sl 2 (C) hat das Wurzelsystem A 1 :
−α
0
α
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Wurzelsysteme: A 1 × A 1
Die Lie-Algebra sl 2 (C) ⊕ sl 2 (C) hat das Wurzelsystem A 1 × A 1 :
β
−α
α
−β
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Wurzelsysteme: A 2
Die Lie-Algebra sl 3 (C) hat das Wurzelsystem A 2 :
β
α + β
−α
α
−α − β
−β
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Wurzelsysteme: B 2
Die Lie-Algebra so 5 (C) hat das Wurzelsystem B 2 :
β
α + β
2α + β
−α
α
−2α − β
−α − β
−β
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Wurzelsysteme: G 2
Die exotische Lie-Algebra g 2 hat das Wurzelsystem G 2 :
α 2
α 1 + α 2
−α 1
−α 2 22 / 43
β 2 β 1 + β 2
α 1
−β 1
−β 2
β 1
−α 1 − α 2
−β 1 − β 2

Aktion auf den Wurzeldiagrammen (I)
Erinnerung:
Für X α ∈ g α , H ∈ a gilt:
[H, g α ] = g α , [X −α , g β ] = g β−α , [X α , g β ] = g α+β .
Das bedeutet:
H ∈ a fixiert die Eigenräume g α und g −α .
X α bewegt den Eigenraum g β in den Eigenraum g α+β .
Dies lässt sich anhand der Wurzeldiagramme veranschaulichen.
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Aktion auf den Wurzeldiagrammen (II)
Beispiel B 2 :
β
α + β
2α + β
X α
X β
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−α
α
−2α − β
−α − β
−β

Aktion auf den Wurzeldiagrammen (III)
Wir haben gesehen, dass sich g aus Kopien von sl 2 (C)
zusammensetzt.
Auch die Aktion von g auf sich selbst (auf dem
Wurzeldiagramm) setzt sich aus Aktionen von sl 2 (C)
zusammen.
Aktionen gegeben durch irreduzible Darstellungen von sl 2 (C):
ϱ : sl 2 (C) → gl n (C), X ↦→ ϱ(X ).
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Darstellungen von sl 2 (C) (I)
sl 2 (C) wird erzeugt von H, X , Y mit den Relationen
[H, X ] = 2X , [H, Y ] = −2Y , [X , Y ] = H.
Das Element ϱ(H) ist diagonalisierbar.
Ist v ∈ C n ein Eigenvektor von ϱ(H) zum Eigenwert λ, so gilt:
H.(X .v) = (λ + 2)X .v,
H.(Y .v) = (λ − 2)Y .v.
D.h. X (bzw. Y ) bildet den Eigenraum V λ auf den Eigenraum
zu V λ+2 (bzw. V λ−2 ) ab.
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Darstellungen von sl 2 (C) (II)
Y
H
Y
H
Y
H
...
V λ−4
V λ−2
V λ
X
X
X
Da C n endlich-dimensional ist, muss diese Kette irgendwann
abbrechen.
Es folgt, dass die Eigenwerte von H eine Folge von ganzen
Zahlen bilden:
−n, −n + 2, . . . , n − 2, n.
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Aktion auf den Wurzeldiagrammen (IV)
Zurück zum Beispiel B 2 .
Die α-Linie entspricht der adjungierten Darstellung
ad : sl 2 (C) → gl(sl 2 (C)) ∼ = gl 3 (C), X ↦→ ad(X ).
−α
α
X α
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Aktion auf den Wurzeldiagrammen (V)
Die β-Linien entsprechen einmal der adjungierten Darstellung und
einmal der Standarddarstellung id : sl 2 (C) → gl 2 (C), X ↦→ X .
β
X β
α + β
−β
X β
α
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Darstellungen halbeinfacher Lie-Algebren
Die Darstellungen halbeinfacher Lie-Algebren setzen sich aus den
Darstellungen von sl 2 (C) zusammen.
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Quantenphysik
Elementarteilchen werden durch Elemente eines komplexen
Hilbert-Raumes X beschrieben.
Eine physikalische Größe O wird durch die Eigenwerte eines
hermiteschen Operators Ô auf X beschrieben.
Zwei Größen O 1 , O 2 sind gleichzeitig messbar, wenn der
Kommutator
[Ô 1 , Ô 2 ] = Ô 1 Ô 2 − Ô 2 Ô 1
verschwindet.
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Quarks (I)
Es sei nun X ∼ = C 3 ein dreidimensionaler Hilbert-Raum mit
Orthogonalbasis {u, d, s}, dem Up-Quark, Down-Quark und
Strange-Quark bezeichnen.
Die Lie-Algebra sl 3 (C) lässt sich schreiben als
sl 3 (C) = su 3 ⊕ i · su 3 .
i · su 3 sind die hermiteschen Operatoren auf X ,
su 3 sind die infinitesimal-unitären Transformationen auf X .
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Quarks (II)
Die Cartan-Algebra von sl 3 (C) hat eine Basis
⎛ ⎞
⎛ ⎞
1
1
2
0 0
ˆT 3 = ⎝0 − 1 3
0 0
2
0⎠ und Ŷ = ⎝ 1
0
3
0 ⎠ ,
0 0 0
0 0 − 2 3
wobei T 3 die z-Komponente des Isospins
und Y die Hyperladung ist.
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Quarks (III)
Da [ ˆT 3 , Ŷ ] = 0, lassen sich die Quarks durch ihre Eigenwerte
bezüglich ˆT 3 und Ŷ charakterisieren:
Y
d
1/3
u
−1/2
1/2
T 3
−2/3
s
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Dreimal sl 2 (C) in sl 3 (C)
Wir betrachten drei Einbettungen von sl 2 (C) in sl 3 (C):
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1
2
0 0
0 1 0
0 0 0
ˆT 3 = ⎝0 − 1 2
0⎠ , ˆT + = ⎝0 0 0⎠ , ˆT − = ⎝1 0 0⎠ ,
0 0 0
0 0 0
0 0 0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Û 3 = ⎝ 1
0
2
0 ⎠ , Û + = ⎝0 0 1⎠ , Û − = ⎝0 0 0⎠ ,
0 0 − 1 2
0 0 0
0 1 0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1
2
0 0
0 0 1
0 0 0
ˆV 3 = ⎝0 0 0 ⎠ , ˆV+ = ⎝0 0 0⎠ , ˆV− = ⎝0 0 0⎠ .
0 0 − 1 2
0 0 0
1 0 0
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Aktion der Schiebeoperatoren
Die Operatoren ˆT + , ˆT − , Û + , Û − , ˆV + , ˆV − operieren nach folgendem
Schema in der T 3 ,Y -Ebene:
Y +1
Û +
Y
Y − 1
ˆV −
ˆV+
ˆT+
Û −
ˆT −
T 3
T 3 − 1 2
T 3 + 1 2
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Elementarteilchen
In der Natur kommen keine vereinzelten Quarks vor, sondern
nur aus Quarks und Antiquarks zusammengesetzte Teilchen.
Antiquarks sind die Elemente des Dualraums X ∗ , auf dem
sl 3 (C) durch die duale Darstellung A ↦→ −A ⊤ operiert.
Zusammengesetzte Teilchen entsprechen simultanen
Eigenvektoren für irreduzible Darstellungen von sl 3 (C). Diese
werden aus Tensorprodukten von X und X ∗ gewonnen.
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Baryonen (I)
Baryonen setzen sich aus drei Quarks zusammen.
Betrachte die Darstellung
gegeben durch
ϱ B : sl 3 (C) → gl(X ⊗ X ⊗ X ),
ϱ B (A)(q i ⊗q j ⊗q k ) = Aq i ⊗q j ⊗q k + q i ⊗Aq j ⊗q k + q i ⊗q j ⊗Aq k .
Dann:
X ⊗ X ⊗ X = B 1 ⊕ B 8 ⊕ B 8 ⊕ B 10 ,
wobei jedes B k ein irreduzibler Modul (Multiplett) der Dimension
k ist.
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Baryonen (II)
Das Baryonen-Oktett B 8 :
Y
p
1
n
Σ − Σ 0 Σ +
−1
1
− 1 1
2
2
T 3
Λ 0 39 / 43
Ξ − Ξ 0
−1

Baryonen (III)
Das Baryonen-Dekuplett B 10 :
Y
∆ − ∆ 0 1 ∆ + ∆ ++
− 3 2
Σ ∗− Σ ∗0 Σ ∗+
−1
− 1 2
1
2
1
3
2
T 3
Ξ ∗−
Ω − 40 / 43
−1
Ξ ∗0
−2

Mesonen (I)
Mesonen setzen sich aus einem Quark und einem Antiquark
zusammen.
Betrachte die Darstellung
gegeben durch
Dann:
ϱ M : sl 3 (C) → gl(X ⊗ X ∗ ),
ϱ M (A)(q i ⊗ q ∗ j ) = Aq i ⊗ q ∗ j − q i ⊗ A ⊤ q ∗ j .
X ⊗ X ∗ = M 1 ⊕ M 8 ,
wobei M 8 eine irreduzibler Modul der Dimension 8 ist.
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Mesonen (II)
Das Mesonen-Oktett M 8 :
Y
K 0 1 K +
π − η π 0 π +
−1
1
− 1 1
2
2
T 3
K −
−1
K 0
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O. Baues, W. Globke
Lie Groups and Lie Algebras
??? ???
W. Fulton, J. Harris
Representation Theory: A First Course
Springer 1997
W. Greiner, B. Müller
Quantenmechanik: Symmetrien
Harri Deutsch 2005
B. Hall
Lie Groups, Lie Algebras, and Representations
Springer 2004
A. Knapp
Lie Groups Beyond an Introduction
Birkhäuser 2002
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