7.1 N – Axiomatisch
7.1 N – Axiomatisch
7.1 N – Axiomatisch
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7 N<br />
In den folgenden Unterabschnitten werden kurz verschiedene Möglichkeiten<br />
skizziert, die natürlichen Zahlen bzw. die Menge der natürlichen Zahlen und<br />
die in dieser Menge geltenden Rechenregeln usw. mathematisch präzise einzuführen<br />
und zu beschreiben. Einerseits ist zwar zwischen der je individuellen<br />
Aneignung der natürlichen Zahlen und ihrer Eigenschaften, also unter anderem<br />
dem was die natürlichen Zahlen für Subjekte (ob Kinder oder Erwachsene<br />
. . . ) sind, und der (aktuellen) wissenschaftlichen Beschreibung natürlicher<br />
Zahlen, also dem was die natürlichen Zahlen als, auch gesellschaftlich bestimmte,<br />
Kulturgegenstände sind, zu unterscheiden. Andererseits stellen wissenschaftliche<br />
Beschreibungen aber Möglichkeiten dar, das was beispielsweise<br />
Lernende von natürlichen Zahlen wissen bzw. in ihrem Handeln realisieren,<br />
als jeweils individuelle Ausschnitte von dem, was natürliche Zahlen “sind” zu<br />
begreifen. Es erscheint naheliegend, dass dies für ein reflektiertes Handeln,<br />
das Lernprozesse fördern bzw. optimieren will, eine im gewissen Sinnne notwendige<br />
wenn auch bei weitem nicht hinreichende Voraussetzung darstellt.<br />
Im Übrigen (und beispielsweise . . . ) ist das Ineinander “individueller” und<br />
“gesellschaftlicher” Momente in einer Gegenüberstellung von “Selbststandpunkt”<br />
und “Drittstandpunkt” nur unzureichend begreifbar, wenn das tätige<br />
bzw. aktive Moment fehlt . . .<br />
Darüberhinaus: Es ist dem “Autor” bewußt, dass es sich auf den folgenden<br />
Seiten um relativ schwierigen “Stoff” handelt. Die folgenden Inhalte werden<br />
mit der Erwartung präsentiert, dass sie den bzw. die “Lesende(n)” “anregen”<br />
und insbesondere eine Idee davon vermitteln, wie verschieden alleine schon<br />
“mathematisch” auf so etwas “einfaches” wie N “gesehen” werden kann. Die<br />
Inhalte im engeren Sinne werden nicht in der Klausur abgeprüft und müssen<br />
nicht bis ins Letzte (?!) nachvollzogen werden.<br />
<strong>7.1</strong> N <strong>–</strong> <strong>Axiomatisch</strong><br />
(Literatur: F. Padberg, R. Danckwerts, M. Stein, Zahlbereiche - Eine elementare<br />
Einführung.)<br />
Definition <strong>7.1</strong> Eine Menge N zusammen mit einer Abbildung ν : N → N<br />
heißt Menge der natürlichen Zahlen genau dann, wenn gilt:<br />
(P1) 1 ∈ N, d.h., die Eins ist eine natürliche Zahl.<br />
23
(P2) Für alle x ∈ N gilt: ν(x) ≠ 1, d.h., die Eins ist kein Nachfolger irgendeiner<br />
natürlichen Zahl.<br />
(P3) Für alle x, y ∈ N gilt: Aus x ≠ y folgt ν(x) ≠ ν(y), d.h., verschiedene<br />
Zahlen haben verschiedene Nachfolger.<br />
(P4) Aus A(1) und ∀ x ∈ N : (A(x) ⇒ A(ν(x)) folgt, dass A(x) für alle<br />
x ∈ N gilt, d.h., eine Aussage gilt dann für alle natürliche Zahlen, wenn<br />
sie die beiden folgenden Voraussetzungen erfüllt:<br />
1. Sie muß auf die Eins zutreffen.<br />
2. Wenn sie auf eine beliebige (aber feste) Zahl x zutrifft, dann muß<br />
sie auch auf den Nachfolger von x zutreffen.<br />
Das Axiom (P4) ist uns bereits als das Prinzip der vollständigen Induktion<br />
bekannt.<br />
Wie kann man im Rahmen dieser axiomatischen Beschreibung der natürlichen<br />
Zahlen die Grundrechenarten definieren?<br />
Definition 7.2 (Addition) Für beliebige natürliche Zahlen x und y wird<br />
festgesetzt<br />
(A1) x + 1 := ν(x)<br />
(A2) x + (y + 1) := (x + y) + 1<br />
(A2) läßt sich auch so formulieren: x + ν(y) := ν(x + y) + 1.<br />
Definition 7.3 (Multiplikation) Für beliebige natürliche Zahlen x und y<br />
wird festgesetzt<br />
(M1) x · 1 := x<br />
(M2) x · (y + 1) := (x · y) + x<br />
(M2) läßt sich auch so formulieren: x · ν(y) := (x · y) + x.<br />
Klar: Die Definition 7.3 der Multiplikation setzt die Definition der Addition<br />
voraus. Ausserdem verlangen beide Einsicht in den folgenden Sachverhalt.<br />
24
Satz 7.4 Für alle natürlichen Zahlen x gilt: Wenn x ≠ 1 gilt, gibt es ein y<br />
mit x = ν(y). D.h.: Jede natürliche Zahl außer der Eins hat einen Vorgänger.<br />
(Bemerkung: Hier ist y der Vorgänger von x bzw. x der Nachfolger von y . . . )<br />
Beweisidee. Angenommen es gäbe ein x ≠ 1 ohne Vorgänger. Dann lassen<br />
sich für 1 := 1, i == ν i−1 (1) bzw. I 1 := x und I i := ν i−1 (x) die folgenden<br />
Aussagen formulieren:<br />
{ ∑ x<br />
A(x) :=<br />
k=1 k = x(x+1) , x = i,<br />
∑ 2 i<br />
k=1 3k = 3 2 3i , x = I i .<br />
Das Prinzip der Vollständigen Induktion würde nun ergeben, dass A(x) für<br />
alle x wahr ist. Dies ist aber offenbar nicht richtig. Widerspruch! Es kann<br />
also so ein x ≠ 1 ohne Vorgänger nicht geben.<br />
(A2) bzw. (M2) lassen sich so “letztlich” auf (A1) bzw. (M1) zurückführen.<br />
Es handelt sich im Kern um sog. rekursive Definitionen. Diese entsprechen<br />
im gewissen Sinne einem inhaltlichen Verständnis der Addition natürlicher<br />
Zahlen als fortgesetzter Addition von Einsen und einem Verständnis der Multiplikation<br />
als wiederholter Addition.<br />
Will man axiomatisch vorgehen, so muß man sich zunächst (unter anderem)<br />
vergewissern, dass die eingeführten Rechenoperationen korrekt insbesondere<br />
also eindeutig sind. Beispielhaft sei die Eindeutigkeit der Multiplikation<br />
formuliert und bewiesen.<br />
Satz 7.5 Seien · und ◦ zwei Verknüpfungen auf N. Es gelte für alle natürlichen<br />
Zahlen x, y<br />
x · 1 = x und x ◦ 1 = x.<br />
Ferner gelte für alle y ∈ N<br />
x · (y + 1) = (x · y) + x und x ◦ (y + 1) = (x ◦ y) + x.<br />
Dann gilt für alle natürlichen Zahlen x, y:<br />
x · y = x ◦ y.<br />
Beweis. Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion.<br />
Induktionsanfang: x · 1 = x = x ◦ 1.<br />
25
Induktionsschritt: Sei y beliebig aber fest. Dann lautet die Induktionssannahme<br />
x · y = x ◦ y.<br />
Damit gilt dann:<br />
x · ν(y) = x · y + x<br />
= x ◦ y + x<br />
= x ◦ ν(y).<br />
Zur weiteren Diskussion vergleiche man F. Padberg, R. Danckwerts, M. Stein,<br />
Zahlbereiche - Eine elementare Einführung.<br />
Ein gewisser Nachteil der Charakterisierung der natürlichen Zahlen durch die<br />
Peano-Axiome besteht darin, dass nicht nur die (uns scheinbar so gut bekannte)<br />
Menge N diesen genügt. Sie gelten vielmehr auch für N 0 , {−1, −2, −3, . . .},<br />
{1, 3, 5, 7, 9, . . .} usw. Dies liegt letztlich daran, dass die Peano-Axiome “nur”<br />
die Struktur der Menge N beschreiben. D.h., bezüglich dieser anderen Mengen<br />
lassen sich jeweils eineindeutige (bijektive . . . ) Abbildungen auf N finden,<br />
die “strukturverträglich” sind, es also beispielsweise egal ist, in welcher Menge<br />
man addiert etc. Im gewissen Sinne kann man sagen, dass diese strukturverträglichen<br />
eineindeutigen Abbildungen den Elementen der anderen Menge<br />
einen neuen Namen in N zuordnet.<br />
7.2 N <strong>–</strong> Kardinalzahlen<br />
7.2.1 Endliche Mengen und Anzahl<br />
Die Anzahl von Elementen einer endlichen Menge kann man durch Zählen<br />
bestimmen. Beim Zählen ordnet man die Elemente durch sukzessive Auswahl<br />
in einer bestimmten Weise an. Die letzte Zahl beim Zählen ergibt die Anzahl<br />
der Elemente. Durch ein solches Zählen ordnet man also den Elementen einer<br />
Menge M die Zahlen eines Anfangsstückes von N, also eine Menge der Form<br />
{1, 2, 3, . . . , n}, zu. Wir schreiben<br />
|M| := cardM := n (<strong>7.1</strong>)<br />
26
und bezeichnen n auch als die Kardinalzahl von M. Offenbar gibt es Mengen<br />
für die diese Definition keine Anzahl (oder Kardinalzahl) liefert, z.B. für N<br />
selbst.<br />
Wir nennen eine Menge endlich, wenn das Zählen erfolgreich ist, das heißt<br />
das Zählen zu einem Ende kommt, und unendlich, wenn das nicht der Fall<br />
ist.<br />
Bemerkung In (<strong>7.1</strong>) verwendeten wir die natürlichen Zahlen, um für eine<br />
endliche Menge die Anzahl ihrer Elemente zu definieren. Diese Definition<br />
nutzt den Kardinalzahlaspekt der natürlichen Zahlen. Unser Ziel wird es im<br />
folgenden sein, dies in gewissem Sinne umzukehren, also natürliche Zahlen<br />
über Mengen und gewisse Eigenschaften derselben, nämlich solche die mit<br />
dem Begriff der Anzahl zusammenhängen, zu definieren.<br />
Die eingeführte Methode der Anzahlbestimmung mittels Zählen läßt sich<br />
auch als Entnahmeverfahren beschreiben. Dabei bezeichnen wir als Entnahmeverfahren<br />
für eine Menge M ein Verfahren, das wie folgt vorgeht: Gegeben<br />
sei eine nichtleere Menge M.<br />
1. Aus M wird ein Element m 1 ausgewählt. Man erhält M 1 := M \ {m 1 }.<br />
2. Aus M 1 wird ein Element m 2 ausgewählt. Man erhält M 2 := M 1 \ {m 2 }.<br />
.<br />
k. Aus M k−1 wird ein Element m k ausgewählt. Man erhält M k := M k−1 \<br />
{m k }.<br />
Wir sagen, das Entnahmeverfahren bricht ab, wenn für ein gewisses n ∈ N<br />
gilt: M n = ∅.<br />
Klar:<br />
i) Zählen ist genau dann erfolgreich, wenn das Entnahmeverfahren abbricht.<br />
ii) cardM = n gilt genau dann, wenn M n = ∅.<br />
Nun stellt sich eine (evtl. auf manche kleinlich wirkende) Frage: Erhalte<br />
ich durch anderes Zählen (also eine andere sukzessive Auswahl von Elementen)<br />
eine andere Anzahl von Elementen? Wir “wissen”, daß dies nicht so<br />
ist und haben dieses Wissen auch schon unserer Definition zugrundegelegt.<br />
Würde nämlich ein anderes Zählen zu einem anderen Ergebnis führen, würde<br />
27
die Schreibweise |M| bzw. cardM ohne Vermerken der “Zählart” keinen Sinn<br />
ergeben.<br />
Eine auf unserem “Wissen” gegründete vergewissernde Argumentation<br />
könnte etwa folgendermaßen aussehen: Wir zählen indem wir die jeweils zugeordneten<br />
Zahlen nicht nur denken oder diese aussprechen, sondern kleben<br />
auf jedes ausgewählte Element einen Zettel mit der jeweiligen Ziffer. Jede<br />
beliebige andere sukzessive Auswahl erhalten wir nun, indem wir die Zettel<br />
gegebenenfalls (also wenn die Zuordnung nicht stimmt) entfernen und auf<br />
das jeweils richtige Element kleben. Da durch dieses Tun (“Operieren”) keine<br />
Elemente verschwinden oder entstehen, reichen die Zettel aus und es wird<br />
auch keiner überflüssig.<br />
Manchmal können wir auch unmittelbar die Anzahl der Elemente einer<br />
Menge bestimmen ohne wirklich zu zählen. Im obigen Beispiel nämlich z.B.<br />
dann, wenn wir die Anzahl der “Zettel” kennen. Wir kleben einfach auf jedes<br />
Element genau einen. Reichen sie aus und bleibt keiner übrig so ist die<br />
Anzahl der Element durch die Anzahl der Zettel gegeben. Anderes Beispiel:<br />
Sitzplätze im Hörsaal.<br />
Zwei endliche zählbare Mengen besitzen also die gleiche Anzahl von Elementen,<br />
wenn wir deren Elemente einander eineindeutig zuordnen können.<br />
Vernachlässigen wir nun die “Zettel” und die Frage, ob wir überhaupt mit<br />
dem Zählen zu einem Ende kommen, so bleibt als zentraler Begriff der der<br />
“eineindeutigen Zuordnung”.<br />
Definition 7.6 Wir sprechen von einer eineindeutigen Zuordnung zwischen<br />
zwei Mengen A und B, wenn gilt:<br />
1. Jedem Element von A ist genau ein Element von B zugeordnet.<br />
2. Jedes Element von B kommt genau einmal als zugeordnetes Element<br />
vor.<br />
Gibt es eine solche eineindeutige Zuordnung, so nennt man die Mengen A<br />
und B gleichmächtig.<br />
Zur Erinnerung:<br />
• Eine Abbildung f : A → B heißt surjektiv genau dann, wenn gilt<br />
f(A) := {y ∈ B | ∃x ∈ A : y = f(x)} = B.<br />
28
• Eine Abbildung f : A → B heißt injektiv genau dann, wenn für alle<br />
x 1 , x 2 ∈ A mit x 1 ≠ x 2 gilt f(x 1 ) ≠ f(x 2 ).<br />
• Eine Abbildung f : A → B heißt bijektiv (eineindeutig), wenn sie<br />
injektiv und surjektiv ist.<br />
Endliche Mengen M mit cardM = n können in eineindeutiger Weise<br />
der Menge {1, 2, . . . , n} zugeordnet werden. M und {1, 2, . . . , n} sind also<br />
gleichmächtige Mengen:<br />
cardM = n ⇐⇒ M und {1, 2, . . . , n} sind gleichmächtig.<br />
Offenbar kann der Begriff der eineindeutigen Zuordnung auch auf Mengen<br />
angewendet werden, die nicht endlich sind.<br />
Beispiel Die Mengen N und G := Menge der geraden natürlichen Zahlen<br />
sind gleichmächtig:<br />
1 2 3 4 5 . . . n . . .<br />
↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕<br />
2 4 6 8 10 . . . 2n . . .<br />
Zwei Menge können also gleichmächtig sein, auch wenn es uns nicht gelingt<br />
die Anzahl ihrer Elemente durch Zählen oder das Entnahmeverfahren<br />
zu bestimmen.<br />
Endliche Mengen sind (bisher) für uns Mengen von denen wir die Anzahl der<br />
Elemente durch Zählen erfolgreich angeben können. Statt von erfolgreichem<br />
Zählen könnten wir auch von abbrechenden Entnahmeverfahren sprechen.<br />
Eine weitere nicht sehr davon verschiedene Möglichkeit wäre zu sagen, daß<br />
endliche Mengen solche Mengen sind, die gleichmächtig zu einer Menge vom<br />
Typ {1, 2, 3, . . . , n} für ein n ∈ N sind. Unendliche Mengen sind solche Mengen,<br />
die nicht endlich sind. Wir wollen nun etwas mehr über unendliche Mengen<br />
in Erfahrung bringen. Einige unendliche Mengen wurden (im Rahmen<br />
der Vorlesung) schon erwähnt: N, Q und R.<br />
Zunächst wollen wir der Frage nachgehen, ob sich endliche bzw. unendliche<br />
Mengen auch ohne Zählen (also ohne explizites Verwenden natürlicher<br />
Zahlen) mit Hilfe von Abbildungen charakterisieren lassen.<br />
29
Sei nun M eine unendliche Menge. Zählen bzw. das Entnahmeverfahren<br />
liefert uns dann eine Menge von paarweise verschiedenen Zahlen a i ∈ M,<br />
i ∈ N, die wir in einer Menge X ⊂ M zusammenfassen:<br />
X = {a 1 , a 2 , a 3 , . . .}.<br />
Wir können also eine Abbildung f : N → X durch f(i) = a i einführen. Da<br />
die Abbildung f bijektiv ist, sind die Mengen N und X gleichmächtig. Damit<br />
haben wir schon eine Richtung des folgenden Satzes bewiesen.<br />
Satz 7.7 Eine Menge M ist unendlich genau dann, wenn M eine zu N<br />
gleichmächtige Teilmenge enthält.<br />
Beweis. “=⇒” s.o.<br />
“⇐=” Wenn M endlich ist, kann M keine zu N gleichmächtige Menge enthalten.<br />
Im Zusammenhang mit diesem Satz können wir insbesondere formulieren,<br />
daß es keine unendliche Menge gibt, die “weniger” Elemente als N enthält.<br />
Weiter: Sei M eine unendliche Menge und f : N → X, X = {a 1 , a 2 , a 3 , . . .} ⊂<br />
M wie oben. Wir schreiben nun die Elemente von X zweimal untereinander<br />
und ordnen die Elemente der oberen Reihe Elementen der unteren Reihe zu:<br />
a 1 a 2 a 3 a 4 · · · a n . . .<br />
↘ ↘ ↘ ↘ ↘ ↘ .<br />
a 1 a 2 a 3 a 4 · · · a n . . .<br />
Formal definieren wir X ′ := {a 2 , a 3 , a 4 , . . .} = X \ {a 1 } durch g : X → X ′<br />
mit g(a n ) := a n+1 für alle n ∈ N. Die Abbildung g ist bijektiv, also sind die<br />
beiden Mengen X und X ′ gleichmächtig, obwohl X ′ eine echte Teilmenge von<br />
X bildet.<br />
Wir setzen g nun zu einer Abbildung auf ganz M fort. Dazu sei M ′ :=<br />
M \ {a 1 } und h : M → M ′ sei definiert durch<br />
{ g(x), x ∈ X,<br />
h(x) :=<br />
x, x ∈ M \ X.<br />
Die Abbildung ist offenbar injektiv und wegen M ′ = X ′ ∪ (M \ X) ist sie<br />
auch surjektiv. Also sind auch die Mengen M und M ′ gleichmächtig, obwohl<br />
M ′ eine echte Teilmenge von M bildet.<br />
30
Dies ist für endliche Mengen M nicht möglich: Wenn |M| = n ∈ N,<br />
M ′ ⊂ M und M \ M ′ ≠ ∅ gilt, so muss |M ′ | ≤ n − 1 sein. Damit haben wir<br />
folgenden Satz bewiesen.<br />
Satz 7.8 Eine Menge M ist unendlich genau dann, wenn M eine echte Teilmenge<br />
M ′ enthält, die zu M gleichmächtig ist.<br />
Den zweiten Teil des Satzes könnten wir zur Definition unendlicher Mengen<br />
(und damit auch endlicher Mengen) verwenden. Diese Definition hätte<br />
offensichtlich den Vorteil, daß sie ohne die natürlichen Zahlen (explizit) zu<br />
verwenden auskommt.<br />
Wir können nun auch (unabhängig von N) erklären, was eine endliche<br />
Menge ist: Eine Menge heißt endlich, wenn sie zu keiner echten Teilmenge<br />
gleichmächtig ist. Diese Definition geht auf Richard Dedekind zurück.<br />
7.2.2 Kardinalzahlen<br />
Wir wollen wir nun wieder zum Kardinalzahlaspekt natürlicher Zahlen zurückkehren.<br />
Diesen wollen wir nach Möglichkeit beschreiben ohne dabei die natürlichen<br />
Zahlen selbst (explizit) zu verwenden. Oder anders ausgedrückt: Wir<br />
wollen die natürlichen Zahlen (soweit möglich) als “reine Kardinalzahlen”<br />
unabhängig von ihren anderen Aspekten (z.B. Ordinalzahlaspekt) einführen.<br />
Wir betrachten im folgenden als Grundmenge G die Menge aller endlichen<br />
Mengen. Jeder endlichen Menge kann durch Zählen bzw. durch das<br />
Entnahmeverfahren eine Zahl (die Anzahl der Elemente)zugordnet werden.<br />
Dies induziert in unserer Grundmenge eine Zerlegung in disjunkte Teilmengen<br />
G n , n ∈ N, indem wir definieren<br />
Es gilt:<br />
i) G n ≠ ∅, n ∈ N,<br />
G n := {M ∈ G | |M| = n}.<br />
ii) G n ∩ G m =<br />
{ ∅, n ≠ m,<br />
G m , n = m,<br />
(also: G n ∩ G m = ∅ wenn G n ≠ G m )<br />
iii) ∪ n∈N G n = G.<br />
31
Die Menge G n faßt alle Mengen zusammen, die aus n Elementen bestehen.<br />
Damit drückt für eine Menge M “M ∈ G n ” aus, daß die Anzahl der Elemente<br />
von M n ist.<br />
Wie wir das Zählen “auch noch wegkriegen” haben wir schon gesehen:<br />
Der Schlüssel dazu ist die “eineindeutige Zuordnung” und der Begriff der<br />
Gleichmächtigkeit. Wir bilden nun Teilmengen unserer Grundmenge G (Da<br />
sind also alle Mengen drin, die keine zu sich selbst gleichmächtige echte Teilmengen<br />
enthalten.), in dem wir jeweils gleichmächtige Mengen zusammenfassen.<br />
Natürlich liefert dies die gleiche Zerlegung unserer Grundmenge wie<br />
obiges Vorgehen ohne allerdings nun (explizit) auf N Bezug zu nehmen. Doch<br />
wie können wir diese Zerlegung aufschreiben?<br />
Eine Möglichkeit ist die folgende: Für jedes M ∈ G definieren wir<br />
[M] := {T ∈ G | T ist gleichmächtig zu M}.<br />
Frage: Kann man zeigen bzw. erkennen, daß dies eine paarweise disjunkte<br />
Zerlegung von G in nichtleere Mengen liefert ohne auf unser erstes Vorgehen<br />
Bezug zu nehmen ?<br />
Zu zeigen wäre:<br />
i) Jede dieser Mengen ist nicht leer.<br />
ii) Je zwei verschiedene Mengen sind disjunkt.<br />
iii) Die Vereinigung all dieser Mengen gibt M.<br />
i) ist klar, da natürlich M gleichmächtig zu sich ist. iii) ist ebenfalls<br />
unmittelbar klar, da jede endliche Menge M zur Grundlage einer Menge [M]<br />
gemacht werden kann.<br />
Bleibt ii): Dafür ist hinreichend zu zeigen, daß gilt<br />
[M] ∩ [N] ≠ ∅ =⇒ [M] = [N].<br />
Wegen [M] ∩ [N] ≠ ∅ existiert T ∈ [M] ∩ [N], T ≠ ∅. Dies bedeutet nach<br />
Definition nichts anderes als daß T gleichmächtig zu M und gleichmächtig zu<br />
N ist. Wählen wir irgendein U ∈ [M], so ist U gleichmächtig zu M, also zu T ,<br />
also zu N und somit U ∈ [N]. Also gilt [M] ⊂ [N]. Aus Symmetriegründen<br />
gilt dann natürlich auch [N] ⊂ [M] und somit schließlich [M] = [N].<br />
Damit sind wir (fast) am Ziel: Wir bezeichnen nämlich für endliche Mengen<br />
M<br />
[M]<br />
32
als Kardinalzahl von M. M heißt dann auch Repräsentant der Kardinalzahl<br />
[M].<br />
Nun führen wir noch die natürlichen Zahlen als Kardinalzahlen<br />
(endlicher Mengen) ein:<br />
1 := [{∅}]<br />
2 := [{∅, {∅}}]<br />
.<br />
k := [{∅, {∅}, {∅, {∅}}, . . . {∅, {∅}, . . . , } . . .}] (“am Ende k Klammern”)<br />
usw.<br />
Ergänzend definieren wir noch 0 := [∅].<br />
Bemerkungen. 1. Man beachte: In dem usw. “versteckt” sich im gewissen<br />
Sinne das Prinzip der Vollständigen Induktion. Vgl. dazu H. Freudenthal,<br />
Mathematik als pädagogische Aufgabe <strong>–</strong> Band I.)<br />
2. Unser Vorgehen verwendete übrigens nicht die Endlichkeit der betrachteten<br />
Mengen. Wir könnten also die Menge G erweitern durch Hinzunehmen<br />
unendlicher Mengen. Dadurch erhielten wir Kardinalzahlen unendlicher Mengen<br />
wie [N] oder [R] sowie zum Beispiel die Identität [N] = [Q].<br />
Im folgenden werden wir noch Addition, Multiplikation und die Kleinerbeziehung<br />
für Kardinalzahlen behandeln. Später werden wir uns noch<br />
ausführlicher mit der am Begriff der Kardinalzahlen durchgeführten “Begriffsbildung”<br />
beschäftigen (gemeint ist die sog. Äquivalenzrelation). Diese<br />
spielt (nicht nur . . . ) in der Mathematik eine wichtige Rolle.<br />
7.2.3 Rechnen mit Kardinalzahlen<br />
Im vorhergehenden Abschnitt ist es uns gelungen natürliche Zahlen als Kardinalzahlen<br />
einzuführen. Es ist nun naheliegend zu fragen und zu untersuchen,<br />
ob und wie auf dieser Grundlage die uns bekannten Grundrechenarten und<br />
ihre Eigenschaften (für auf die obige Weise eingeführten natürlichen Zahlen)<br />
begründet werden können.<br />
33
Addition. Die Addition natürlicher Zahlen als Kardinalzahlen beruht auf<br />
der Vorstellung der Vereinigung von Mengen, beziehungsweise der Vorstellung<br />
des Zusammenlegens von Objekten: Wollen wir z.B. die Summe 2 + 3<br />
bilden, so wählen wir eine Menge, welche die Zahl 3 repräsentiert, z.B. also<br />
{a, b, c} und eine Menge, welche die Zahl 2 repräsentiert, z.B. also {d, e}.<br />
Nun vereinigen wir die beiden Mengen<br />
{a, b, c} ∪ {d, e} = {a, b, c, d, e}.<br />
“Anwenden” der “Klammern” [ ] führt auf<br />
[{a, b, c} ∪ {d, e}] = [{a, b, c, d, e}].<br />
Die Addition “+” als etwas, das mit den Zahlen als Kardinalzahlen “gemacht”<br />
werden soll, läßt sich schreiben als<br />
Nun berücksichtigen wir noch<br />
3 + 2 = [{a, b, c}] + [{d, e}].<br />
[{a, b, c, d, e}] = 5.<br />
Als sinnvolles Bindeglied, schließlich wollen wir ja, daß 3+2 = 5 ist, erscheint<br />
nun die Festlegung<br />
[{a, b, c}] + [{d, e}] = [{a, b, c} ∪ {d, e}]. (7.2)<br />
Wir bemerken, daß wir nicht irgendwelche Repräsentanten für 3 bzw. 2<br />
wählen dürfen. So liefern {a, b, c} und {a, b}<br />
[{a, b, c} ∪ {a, b}] = [{a, b, c}] = 3<br />
nicht das von uns gewünschte Ergebnis 5. Notwendig ist also die Wahl disjunkter<br />
Repräsentanten für die zu addierenden Zahlen.<br />
Damit (7.2) (bzw. die nachfolgende Verallgemeinerung in Definition 7.9)<br />
sinnvoll ist, muß diese Festlegung von den gewählten Repräsentanten unabhängig<br />
sein, oder mit anderen Worten: Bei der Wahl anderer Repräsentanten<br />
für die gleiche (Kardinal-) Zahl sollte das gleiche Ergebnis herauskommen.<br />
Ausserdem wollen wir für eine so eingeführte Addition, daß die üblichen<br />
Rechenregeln gelten. Wir werden im folgenden sehen, daß beides der Fall ist.<br />
34
Definition 7.9 Seien m und n zwei Kardinalzahlen mit m = [M] und n =<br />
[N]. Sind M und N nicht disjunkt, so wählen wir N ′ mit [N ′ ] = [N] und<br />
N ′ ∩ M = ∅. Dann definieren wir<br />
m + n := [M ∪ N ′ ].<br />
Im folgenden wählen wir stets disjunkte Repräsentanten. Zunächst zur<br />
Wohldefiniertheit:<br />
Satz <strong>7.1</strong>0 Gegeben seien Kardinalzahlen m und n mit m = [M] = [M ′ ] und<br />
n = [N] = [N ′ ] und es gelte M ∩ N = M ′ ∩ N ′ = ∅. Dann gilt<br />
[M ∪ N] = [M ′ ∪ N ′ ]. (7.3)<br />
Beweis.<br />
[M] = [M ′ ] und [N] = [N ′ ] bedeutet, daß bijektive Abbildungen<br />
f : M → M ′ bzw. g : N → N ′<br />
existieren. (7.3) ist gezeigt, wenn wir eine bijektive Abbildung h : M ∪ N →<br />
M ′ ∩ N ′ finden. Eine solche ist aber gegeben durch die Definition<br />
{ f(x), x ∈ M,<br />
h(x) =<br />
g(x), x ∈ N,<br />
da x entweder zu M oder zu N gehört.<br />
Nun zu den Rechenregeln: Welche sind die “wesentlichen” Rechenregeln<br />
und welche können aus diesen abgeleitet werden? Welche gelten überhaupt<br />
bzw. sind “charakterisierend” für die natürlichen Zahlen? Insbesondere: Ist<br />
die von uns eingeführte Addition überhaupt (“wirklich”) “dieselbe”, die wir<br />
“kennen”?<br />
Satz <strong>7.1</strong>1 Für (endliche) Kardinalzahlen m, n, p gilt<br />
i) m + n = n + m (Kommutativgesetz der Addition)<br />
ii) (m + n) + p = m + (n + p) (Assoziativgesetz der Addition)<br />
iii) m + 0 = m (Gesetz vom neutralen Element der Addition)<br />
35
Beweis.<br />
Zu i: Wählen M, N ∈ G mit M ∩ N = ∅ und m = [M], n = [N]. Dann gilt<br />
m + n = [M] + [N] = [M ∪ N] = [N ∪ M] = [N] + [M] = n + m.<br />
(“Vereinigen ist kommutativ.”)<br />
Zu ii: M, N und P seien paarweise disjunkte endliche Mengen mit m =<br />
[M], n = [N] und p = [P ]. Es gilt<br />
(m+n)+p = ([M]+[N])+[P ] = [M ∪N]+[P ] = [(M ∪N)∪P ] = [M ∪N ∪P ]<br />
und<br />
[M ∪N ∪P ] = [M ∪(N ∪P )] = [M]+[N ∪P ] = [M]+([N]+[P ]) = m+(n+p).<br />
(“Vereinigen ist assoziativ.”)<br />
Zu iii: Für m = [M] ist<br />
m + 0 = [M] + [∅] = [M ∪ ∅] = [M] = m.<br />
Im Zusammenhang mit der Subtraktion steht die folgende Beobachtung.<br />
Satz <strong>7.1</strong>2 Für (endliche) Kardinalzahlen m, n, p gilt (Rechtseindeutigkeit<br />
der Addition/Streichungsregel der Addition)<br />
m + p = n + p =⇒ m = n.<br />
Einen Beweis für diese Behauptung findet man z.B. in F.Padberg, R.Danckwerts,<br />
M.Stein, Zahlbereiche <strong>–</strong> Eine elementare Einführung.<br />
Bemerkung. Assoziativgesetz, Kommutativgesetz und das Gesetz vom neutralen<br />
Element würden auch für Kardinalzahlen unendlicher Mengen gelten.<br />
Das ist aber nicht für die Streichungsregel richtig: Für ω = [N] gilt<br />
obwohl 1 ≠ 0.<br />
1 + ω = [{∅}] + [N] = [{∅} ∪ N] = [N] = [∅ ∪ N] = 0 + ω,<br />
Multiplikation. Die Definition der Multiplikation für Kardinalzahlen kann<br />
man unter anderem durch geometrische Überlegungen motivieren. Wie können<br />
wir uns 3 · 4 durch “Mengen” veranschaulichen? Z.B. eben so:<br />
Bei der Multiplikation wird uns (also) das sogenannte “Kreuzprodukt” (Menge<br />
von 2.Tupeln . . . ) weiterhelfen. Wir erinnern zunächst an deren Definition.<br />
36
Definition <strong>7.1</strong>3 i) Wenn a und b Elemente einer Grundmenge sind, so<br />
heißt (a, b) das geordnete Paar aus a und b.<br />
ii) Wenn M und N zwei nichtleere Mengen sind, so heißt<br />
das Kreuzprodukt von M und N.<br />
Nun zum Produkt von Kardinalzahlen.<br />
M × N = {(x, y) | x ∈ M, y ∈ N}<br />
Definition <strong>7.1</strong>4 Für (endliche) Kardinalzahlen m und n mit m = [M] und<br />
n = [N] definieren wir<br />
m · n := [M × N].<br />
Auch das Produkt m · n ist wohldefiniert. Es gelten die folgenden Rechenregeln.<br />
Satz <strong>7.1</strong>5 Für (endliche) Kardinalzahlen m, n, p gilt<br />
i) m · n = n · m (Kommutativgesetz der Multiplikaton)<br />
ii) (m · n) · p = m · (n · p) (Assoziativgesetz der Multiplikation)<br />
iii) m · 1 = m (Gesetz vom neutralen Element der Multiplikation)<br />
iv) m·p = n·p =⇒ m = n (Rechtseindeutigkeit der Multiplikation/Streichungsregel<br />
der Multiplikation)<br />
v) p(m + n) = p · m + p · n (Distributivgesetz)<br />
37
Beweis.<br />
Zu i) Sei m = [M] und n = [N]. Zu zeigen ist m · n = n · m, also [M × N] =<br />
[N ×M]. Wir müssen eine bijektive Abbildung f : M ×N → N ×M angeben.<br />
Eine solche ist aber definiert durch (x, y) ↦→ (y, x).<br />
Zu ii) Sei m = [M], n = [N] und p = [P ]. Zu zeigen ist (m · n) · p =<br />
m · (n · p), also [(M × N) × P ] = [M × (N × P )]. Dies ist aber richtig, da<br />
f : (M × N) × P → M × (N × P ) mit f(((x, y), z)) = (x, (y, z)) bijektiv ist.<br />
Zu iii) Sei m = [M]. Zu zeigen ist m · 1 = m, also [M × {∅}] = [M]. Dies<br />
gilt aber, da die Abbildung f : M × {∅}] → M mit f((x, ∅)) = x bijektiv ist.<br />
Wegen iv) und v) vergleiche man wieder F.Padberg, R.Danckwerts, M.Stein,<br />
Zahlbereiche <strong>–</strong> Eine elementare Einführung.<br />
Bemerkung. Lediglich die Streichungsregel der Mutliplikation würde nicht<br />
für unendliche Kardinalzahlen gelten.<br />
Kleinerbeziehung.<br />
Definition <strong>7.1</strong>6 Für (endliche) Kardinalzahlen m und n mit m = [M] und<br />
n = [N] definieren wir<br />
m < n :⇔ es gibt ein M ′ ⊄ = N mit [M] = [M ′ ].<br />
Bemerkung. Für unendliche Kardinalzahlen wäre diese Definition nicht<br />
hinreichend: So gilt ja zum Beispiel [N] = [N \ {1}]. Für unendliche Kardinalzahlen<br />
muß man deshalb die Bedingung [M] ≠ [N] ergänzen.<br />
Für endliche Kardinalzahlen gelten die folgenden Gesetze bezüglich der<br />
Kleinerbeziehung.<br />
Satz <strong>7.1</strong>7 Seien m, n, p (endliche) Kardinalzahlen.<br />
i) Es gilt stets genau eine der folgenden drei Beziehungen<br />
m < n, m = n, n < m. (T richotomie)<br />
ii) Aus m < n und n < p folgt m < p.<br />
(Transitivität)<br />
iii) m < n ⇐⇒ m + p < n + p.<br />
(Monotoniegesetz der Addition)<br />
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iv) m < n ⇐⇒ m · p < n · p.<br />
(Monotoniegesetz der Multiplikation)<br />
(ohne Beweis)<br />
Bemerkung. Nur die Monotoniegesetze würden nicht für unendliche Kardinalzahlen<br />
gelten.<br />
“Wesentlich” für die natürlichen Zahlen sind die folgenden Gesetze (Axiome):<br />
• Assoziativgesetze der Addition und Multiplikation<br />
• Kommutativgesetze der Addition und Multiplikation<br />
• Gesetz vom Neutralen der Multiplikation<br />
• Distributivgesetz<br />
• Trichotomiegesetz<br />
• Transitivitätsgesetz<br />
• Monotoniegesetze der Addition und Multiplikation<br />
Allerdings reicht das noch nicht um die natürlichen Zahlen zu charakterisieren:<br />
Es fehlt noch die sogenannte Vollständige Induktion oder ein dazu<br />
äquivalentes Prinzip (Z.B. Wohlordnungs- oder Schubfachprinzip).<br />
7.3 N <strong>–</strong> Epistemologisch<br />
Vgl. Abschnitt 4.1 in G.N. Müller, H. Steinbring, E.C. Wittmann (Hg.):<br />
Arithmetik als Prozess.<br />
Dieser Zugang besitzt einige Ähnlichkeit mit dem in Abschnitt 7.2 Dargestelltem.<br />
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7.4 N <strong>–</strong> Konstruktiv<br />
Vgl. Abschnitt 4.2 in G.N. Müller, H. Steinbring, E.C. Wittmann (Hg.):<br />
Arithmetik als Prozess.<br />
Dieser Zugang besitzt einige Ähnlichkeit mit dem in Abschnitt <strong>7.1</strong> Dargestelltem.<br />
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