7.1 N – Axiomatisch

(P2) Für alle x ∈ N gilt: ν(x) ≠ 1, d.h., die Eins ist kein Nachfolger irgendeiner
natürlichen Zahl.
(P3) Für alle x, y ∈ N gilt: Aus x ≠ y folgt ν(x) ≠ ν(y), d.h., verschiedene
Zahlen haben verschiedene Nachfolger.
(P4) Aus A(1) und ∀ x ∈ N : (A(x) ⇒ A(ν(x)) folgt, dass A(x) für alle
x ∈ N gilt, d.h., eine Aussage gilt dann für alle natürliche Zahlen, wenn
sie die beiden folgenden Voraussetzungen erfüllt:
1. Sie muß auf die Eins zutreffen.
2. Wenn sie auf eine beliebige (aber feste) Zahl x zutrifft, dann muß
sie auch auf den Nachfolger von x zutreffen.
Das Axiom (P4) ist uns bereits als das Prinzip der vollständigen Induktion
bekannt.
Wie kann man im Rahmen dieser axiomatischen Beschreibung der natürlichen
Zahlen die Grundrechenarten definieren?
Definition 7.2 (Addition) Für beliebige natürliche Zahlen x und y wird
festgesetzt
(A1) x + 1 := ν(x)
(A2) x + (y + 1) := (x + y) + 1
(A2) läßt sich auch so formulieren: x + ν(y) := ν(x + y) + 1.
Definition 7.3 (Multiplikation) Für beliebige natürliche Zahlen x und y
wird festgesetzt
(M1) x · 1 := x
(M2) x · (y + 1) := (x · y) + x
(M2) läßt sich auch so formulieren: x · ν(y) := (x · y) + x.
Klar: Die Definition 7.3 der Multiplikation setzt die Definition der Addition
voraus. Ausserdem verlangen beide Einsicht in den folgenden Sachverhalt.
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