7.1 N – Axiomatisch

die Schreibweise |M| bzw. cardM ohne Vermerken der “Zählart” keinen Sinn
ergeben.
Eine auf unserem “Wissen” gegründete vergewissernde Argumentation
könnte etwa folgendermaßen aussehen: Wir zählen indem wir die jeweils zugeordneten
Zahlen nicht nur denken oder diese aussprechen, sondern kleben
auf jedes ausgewählte Element einen Zettel mit der jeweiligen Ziffer. Jede
beliebige andere sukzessive Auswahl erhalten wir nun, indem wir die Zettel
gegebenenfalls (also wenn die Zuordnung nicht stimmt) entfernen und auf
das jeweils richtige Element kleben. Da durch dieses Tun (“Operieren”) keine
Elemente verschwinden oder entstehen, reichen die Zettel aus und es wird
auch keiner überflüssig.
Manchmal können wir auch unmittelbar die Anzahl der Elemente einer
Menge bestimmen ohne wirklich zu zählen. Im obigen Beispiel nämlich z.B.
dann, wenn wir die Anzahl der “Zettel” kennen. Wir kleben einfach auf jedes
Element genau einen. Reichen sie aus und bleibt keiner übrig so ist die
Anzahl der Element durch die Anzahl der Zettel gegeben. Anderes Beispiel:
Sitzplätze im Hörsaal.
Zwei endliche zählbare Mengen besitzen also die gleiche Anzahl von Elementen,
wenn wir deren Elemente einander eineindeutig zuordnen können.
Vernachlässigen wir nun die “Zettel” und die Frage, ob wir überhaupt mit
dem Zählen zu einem Ende kommen, so bleibt als zentraler Begriff der der
“eineindeutigen Zuordnung”.
Definition 7.6 Wir sprechen von einer eineindeutigen Zuordnung zwischen
zwei Mengen A und B, wenn gilt:
1. Jedem Element von A ist genau ein Element von B zugeordnet.
2. Jedes Element von B kommt genau einmal als zugeordnetes Element
vor.
Gibt es eine solche eineindeutige Zuordnung, so nennt man die Mengen A
und B gleichmächtig.
Zur Erinnerung:
• Eine Abbildung f : A → B heißt surjektiv genau dann, wenn gilt
f(A) := {y ∈ B | ∃x ∈ A : y = f(x)} = B.
28