7.1 N – Axiomatisch

und bezeichnen n auch als die Kardinalzahl von M. Offenbar gibt es Mengen
für die diese Definition keine Anzahl (oder Kardinalzahl) liefert, z.B. für N
selbst.
Wir nennen eine Menge endlich, wenn das Zählen erfolgreich ist, das heißt
das Zählen zu einem Ende kommt, und unendlich, wenn das nicht der Fall
ist.
Bemerkung In (7.1) verwendeten wir die natürlichen Zahlen, um für eine
endliche Menge die Anzahl ihrer Elemente zu definieren. Diese Definition
nutzt den Kardinalzahlaspekt der natürlichen Zahlen. Unser Ziel wird es im
folgenden sein, dies in gewissem Sinne umzukehren, also natürliche Zahlen
über Mengen und gewisse Eigenschaften derselben, nämlich solche die mit
dem Begriff der Anzahl zusammenhängen, zu definieren.
Die eingeführte Methode der Anzahlbestimmung mittels Zählen läßt sich
auch als Entnahmeverfahren beschreiben. Dabei bezeichnen wir als Entnahmeverfahren
für eine Menge M ein Verfahren, das wie folgt vorgeht: Gegeben
sei eine nichtleere Menge M.
1. Aus M wird ein Element m 1 ausgewählt. Man erhält M 1 := M \ {m 1 }.
2. Aus M 1 wird ein Element m 2 ausgewählt. Man erhält M 2 := M 1 \ {m 2 }.
.
k. Aus M k−1 wird ein Element m k ausgewählt. Man erhält M k := M k−1 \
{m k }.
Wir sagen, das Entnahmeverfahren bricht ab, wenn für ein gewisses n ∈ N
gilt: M n = ∅.
Klar:
i) Zählen ist genau dann erfolgreich, wenn das Entnahmeverfahren abbricht.
ii) cardM = n gilt genau dann, wenn M n = ∅.
Nun stellt sich eine (evtl. auf manche kleinlich wirkende) Frage: Erhalte
ich durch anderes Zählen (also eine andere sukzessive Auswahl von Elementen)
eine andere Anzahl von Elementen? Wir “wissen”, daß dies nicht so
ist und haben dieses Wissen auch schon unserer Definition zugrundegelegt.
Würde nämlich ein anderes Zählen zu einem anderen Ergebnis führen, würde
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