7.1 N – Axiomatisch

Die Menge G n faßt alle Mengen zusammen, die aus n Elementen bestehen.
Damit drückt für eine Menge M “M ∈ G n ” aus, daß die Anzahl der Elemente
von M n ist.
Wie wir das Zählen “auch noch wegkriegen” haben wir schon gesehen:
Der Schlüssel dazu ist die “eineindeutige Zuordnung” und der Begriff der
Gleichmächtigkeit. Wir bilden nun Teilmengen unserer Grundmenge G (Da
sind also alle Mengen drin, die keine zu sich selbst gleichmächtige echte Teilmengen
enthalten.), in dem wir jeweils gleichmächtige Mengen zusammenfassen.
Natürlich liefert dies die gleiche Zerlegung unserer Grundmenge wie
obiges Vorgehen ohne allerdings nun (explizit) auf N Bezug zu nehmen. Doch
wie können wir diese Zerlegung aufschreiben?
Eine Möglichkeit ist die folgende: Für jedes M ∈ G definieren wir
[M] := {T ∈ G | T ist gleichmächtig zu M}.
Frage: Kann man zeigen bzw. erkennen, daß dies eine paarweise disjunkte
Zerlegung von G in nichtleere Mengen liefert ohne auf unser erstes Vorgehen
Bezug zu nehmen ?
Zu zeigen wäre:
i) Jede dieser Mengen ist nicht leer.
ii) Je zwei verschiedene Mengen sind disjunkt.
iii) Die Vereinigung all dieser Mengen gibt M.
i) ist klar, da natürlich M gleichmächtig zu sich ist. iii) ist ebenfalls
unmittelbar klar, da jede endliche Menge M zur Grundlage einer Menge [M]
gemacht werden kann.
Bleibt ii): Dafür ist hinreichend zu zeigen, daß gilt
[M] ∩ [N] ≠ ∅ =⇒ [M] = [N].
Wegen [M] ∩ [N] ≠ ∅ existiert T ∈ [M] ∩ [N], T ≠ ∅. Dies bedeutet nach
Definition nichts anderes als daß T gleichmächtig zu M und gleichmächtig zu
N ist. Wählen wir irgendein U ∈ [M], so ist U gleichmächtig zu M, also zu T ,
also zu N und somit U ∈ [N]. Also gilt [M] ⊂ [N]. Aus Symmetriegründen
gilt dann natürlich auch [N] ⊂ [M] und somit schließlich [M] = [N].
Damit sind wir (fast) am Ziel: Wir bezeichnen nämlich für endliche Mengen
M
[M]
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