7.1 N – Axiomatisch

Dies ist für endliche Mengen M nicht möglich: Wenn |M| = n ∈ N,
M ′ ⊂ M und M \ M ′ ≠ ∅ gilt, so muss |M ′ | ≤ n − 1 sein. Damit haben wir
folgenden Satz bewiesen.
Satz 7.8 Eine Menge M ist unendlich genau dann, wenn M eine echte Teilmenge
M ′ enthält, die zu M gleichmächtig ist.
Den zweiten Teil des Satzes könnten wir zur Definition unendlicher Mengen
(und damit auch endlicher Mengen) verwenden. Diese Definition hätte
offensichtlich den Vorteil, daß sie ohne die natürlichen Zahlen (explizit) zu
verwenden auskommt.
Wir können nun auch (unabhängig von N) erklären, was eine endliche
Menge ist: Eine Menge heißt endlich, wenn sie zu keiner echten Teilmenge
gleichmächtig ist. Diese Definition geht auf Richard Dedekind zurück.
7.2.2 Kardinalzahlen
Wir wollen wir nun wieder zum Kardinalzahlaspekt natürlicher Zahlen zurückkehren.
Diesen wollen wir nach Möglichkeit beschreiben ohne dabei die natürlichen
Zahlen selbst (explizit) zu verwenden. Oder anders ausgedrückt: Wir
wollen die natürlichen Zahlen (soweit möglich) als “reine Kardinalzahlen”
unabhängig von ihren anderen Aspekten (z.B. Ordinalzahlaspekt) einführen.
Wir betrachten im folgenden als Grundmenge G die Menge aller endlichen
Mengen. Jeder endlichen Menge kann durch Zählen bzw. durch das
Entnahmeverfahren eine Zahl (die Anzahl der Elemente)zugordnet werden.
Dies induziert in unserer Grundmenge eine Zerlegung in disjunkte Teilmengen
G n , n ∈ N, indem wir definieren
Es gilt:
i) G n ≠ ∅, n ∈ N,
G n := {M ∈ G | |M| = n}.
ii) G n ∩ G m =
{ ∅, n ≠ m,
G m , n = m,
(also: G n ∩ G m = ∅ wenn G n ≠ G m )
iii) ∪ n∈N G n = G.
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