7.1 N – Axiomatisch

Beweis.
Zu i) Sei m = [M] und n = [N]. Zu zeigen ist m · n = n · m, also [M × N] =
[N ×M]. Wir müssen eine bijektive Abbildung f : M ×N → N ×M angeben.
Eine solche ist aber definiert durch (x, y) ↦→ (y, x).
Zu ii) Sei m = [M], n = [N] und p = [P ]. Zu zeigen ist (m · n) · p =
m · (n · p), also [(M × N) × P ] = [M × (N × P )]. Dies ist aber richtig, da
f : (M × N) × P → M × (N × P ) mit f(((x, y), z)) = (x, (y, z)) bijektiv ist.
Zu iii) Sei m = [M]. Zu zeigen ist m · 1 = m, also [M × {∅}] = [M]. Dies
gilt aber, da die Abbildung f : M × {∅}] → M mit f((x, ∅)) = x bijektiv ist.
Wegen iv) und v) vergleiche man wieder F.Padberg, R.Danckwerts, M.Stein,
Zahlbereiche – Eine elementare Einführung.
Bemerkung. Lediglich die Streichungsregel der Mutliplikation würde nicht
für unendliche Kardinalzahlen gelten.
Kleinerbeziehung.
Definition 7.16 Für (endliche) Kardinalzahlen m und n mit m = [M] und
n = [N] definieren wir
m < n :⇔ es gibt ein M ′ ⊄ = N mit [M] = [M ′ ].
Bemerkung. Für unendliche Kardinalzahlen wäre diese Definition nicht
hinreichend: So gilt ja zum Beispiel [N] = [N \ {1}]. Für unendliche Kardinalzahlen
muß man deshalb die Bedingung [M] ≠ [N] ergänzen.
Für endliche Kardinalzahlen gelten die folgenden Gesetze bezüglich der
Kleinerbeziehung.
Satz 7.17 Seien m, n, p (endliche) Kardinalzahlen.
i) Es gilt stets genau eine der folgenden drei Beziehungen
m < n, m = n, n < m. (T richotomie)
ii) Aus m < n und n < p folgt m < p.
(Transitivität)
iii) m < n ⇐⇒ m + p < n + p.
(Monotoniegesetz der Addition)
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