7.1 N – Axiomatisch

Sei nun M eine unendliche Menge. Zählen bzw. das Entnahmeverfahren
liefert uns dann eine Menge von paarweise verschiedenen Zahlen a i ∈ M,
i ∈ N, die wir in einer Menge X ⊂ M zusammenfassen:
X = {a 1 , a 2 , a 3 , . . .}.
Wir können also eine Abbildung f : N → X durch f(i) = a i einführen. Da
die Abbildung f bijektiv ist, sind die Mengen N und X gleichmächtig. Damit
haben wir schon eine Richtung des folgenden Satzes bewiesen.
Satz 7.7 Eine Menge M ist unendlich genau dann, wenn M eine zu N
gleichmächtige Teilmenge enthält.
Beweis. “=⇒” s.o.
“⇐=” Wenn M endlich ist, kann M keine zu N gleichmächtige Menge enthalten.
Im Zusammenhang mit diesem Satz können wir insbesondere formulieren,
daß es keine unendliche Menge gibt, die “weniger” Elemente als N enthält.
Weiter: Sei M eine unendliche Menge und f : N → X, X = {a 1 , a 2 , a 3 , . . .} ⊂
M wie oben. Wir schreiben nun die Elemente von X zweimal untereinander
und ordnen die Elemente der oberen Reihe Elementen der unteren Reihe zu:
a 1 a 2 a 3 a 4 · · · a n . . .
↘ ↘ ↘ ↘ ↘ ↘ .
a 1 a 2 a 3 a 4 · · · a n . . .
Formal definieren wir X ′ := {a 2 , a 3 , a 4 , . . .} = X \ {a 1 } durch g : X → X ′
mit g(a n ) := a n+1 für alle n ∈ N. Die Abbildung g ist bijektiv, also sind die
beiden Mengen X und X ′ gleichmächtig, obwohl X ′ eine echte Teilmenge von
X bildet.
Wir setzen g nun zu einer Abbildung auf ganz M fort. Dazu sei M ′ :=
M \ {a 1 } und h : M → M ′ sei definiert durch
{ g(x), x ∈ X,
h(x) :=
x, x ∈ M \ X.
Die Abbildung ist offenbar injektiv und wegen M ′ = X ′ ∪ (M \ X) ist sie
auch surjektiv. Also sind auch die Mengen M und M ′ gleichmächtig, obwohl
M ′ eine echte Teilmenge von M bildet.
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