7.1 N – Axiomatisch

Beweis.
Zu i: Wählen M, N ∈ G mit M ∩ N = ∅ und m = [M], n = [N]. Dann gilt
m + n = [M] + [N] = [M ∪ N] = [N ∪ M] = [N] + [M] = n + m.
(“Vereinigen ist kommutativ.”)
Zu ii: M, N und P seien paarweise disjunkte endliche Mengen mit m =
[M], n = [N] und p = [P ]. Es gilt
(m+n)+p = ([M]+[N])+[P ] = [M ∪N]+[P ] = [(M ∪N)∪P ] = [M ∪N ∪P ]
und
[M ∪N ∪P ] = [M ∪(N ∪P )] = [M]+[N ∪P ] = [M]+([N]+[P ]) = m+(n+p).
(“Vereinigen ist assoziativ.”)
Zu iii: Für m = [M] ist
m + 0 = [M] + [∅] = [M ∪ ∅] = [M] = m.
Im Zusammenhang mit der Subtraktion steht die folgende Beobachtung.
Satz 7.12 Für (endliche) Kardinalzahlen m, n, p gilt (Rechtseindeutigkeit
der Addition/Streichungsregel der Addition)
m + p = n + p =⇒ m = n.
Einen Beweis für diese Behauptung findet man z.B. in F.Padberg, R.Danckwerts,
M.Stein, Zahlbereiche – Eine elementare Einführung.
Bemerkung. Assoziativgesetz, Kommutativgesetz und das Gesetz vom neutralen
Element würden auch für Kardinalzahlen unendlicher Mengen gelten.
Das ist aber nicht für die Streichungsregel richtig: Für ω = [N] gilt
obwohl 1 ≠ 0.
1 + ω = [{∅}] + [N] = [{∅} ∪ N] = [N] = [∅ ∪ N] = 0 + ω,
Multiplikation. Die Definition der Multiplikation für Kardinalzahlen kann
man unter anderem durch geometrische Überlegungen motivieren. Wie können
wir uns 3 · 4 durch “Mengen” veranschaulichen? Z.B. eben so:
Bei der Multiplikation wird uns (also) das sogenannte “Kreuzprodukt” (Menge
von 2.Tupeln . . . ) weiterhelfen. Wir erinnern zunächst an deren Definition.
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