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Kapitel 2
Symplektische Geometrie und
Hamiltonsche Mechanik
In diesem Kapitel erfolgt eine kurze Einführung in die Grundlagen der symplektischen Geometrie und
Hamiltonschen Mechanik. Nähere Einzelheiten zu diesen Themen und Beweise der Behauptungen
sind in den beiden hervorragenden Büchern von V.I. Arnold [An89] und J.E.Marsden, T.S. Ratiu
[AM99] zu finden. Im Gegensatz zum Rest der Arbeit werden Vektoren und Tensoren in diesem
Kapitel durchgehend in der Komponentenschreibweise dargestellt.
Eine symplektische Form ω ± auf einer Mannigfaltigkeit M (eine glatte Oberfläche, die lokal wie der
R n aussieht) ist eine abgeschlossene, nicht ausgeartete 2-Form. Für alle Elemente ξ,η des Tangentialraums
T m M am Punkt m auf M ist die äußere Ableitung dω ± (ξ,η) gleich Null (abgeschlossen)
und es existiert für alle ξ ≠0einη, sodassω ± (ξ,η) ≠ 0 ist (nicht ausgeartet). Die ”
natürliche“
symplektische Struktur lebt auf dem Kotangentialraum T ∗ mM (Phasenraum) mit den Koordinaten
(q i ,p i ) i=1,...,n . Unter diesen Voraussetzungen ist die symplektische Form gleich
ω ± (q i ,p i )((δq 1 ,δp 1 ), (δq 2 ,δp 2 )) = δp 2 δq 1 − δp 1 · δq 2 . (2.1)
Die q i sind generalisierte Koordinaten (Konfigurationsraum (q i , ˙q i )) und die p i sind die generalisierten
Impulse (Phasenraum (q i ,p i )). Ein endlichdimensionales Hamiltonsches System ist durch den
Phasenraum, d.h. eine symplektische Mannigfaltigkeit, und einer auf dem Kotangentenbündel T ∗ M
definierten Funktion, der Hamiltonfunktion H, gegeben. In einem etwas allgemeineren Sinn ist H
keine Funktion, sondern ein Energiefunktional. Das ist eine nicht-lokale Funktion, die von der räumlichen
Verteilung aller dynamischen Variablen abhängt. Diese Eigenschaft von H lässt sich aus dem
Hamilton-Prinzip (2.2) ableiten.
∫ t1
δ
[〈
˙q i 〉
,p i − H(q i ,p i ) ] dt =0 (2.2)
t 0
In Gleichung (2.2) kennzeichnet 〈·, ·〉 die Paarung des Konfigurationsraums mit seinem Dualraum und
˙q i ist gleich ˙q i = dq i /dt. Die Gleichung (2.2) ist für alle Variationen der Kurven c(t) =(q i (t),p i (t))
im Phasenraum mit festem q i an den Endpunkten gültig, wenn c(t) die Hamiltonschen Gleichungen
erfüllt. Für ein gegebenes Lagrangefunktional L(q i , ˙q i )= 〈 ˙q i ,p i
〉
+ H(q i ,p i )aufT M ist das
Wirkungsfunktional ∫ Ldtunter Variationen von q i und p i entlang der Kurve c(t) stationär. Nach
dem Anwenden von δ ˙q i = d(δq i )/dt in Gleichung (2.2) und partieller Integration erhält man die
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